×

Introduction to algebraic independence theory. With contributions from F. Amoroso, D. Bertrand, W. D. Brownawell, G. Diaz, M. Laurent, Yu. V. Nesterenko, K. Nishioka, P. Philippon, G. Rémond, D. Roy, M. Waldschmidt. (English) Zbl 0966.11032

Lecture Notes in Mathematics. 1752. Berlin: Springer. xiii, 256 p. (2001).
Ce joli petit livre (environ 250 pages) est issu d’un cours donné à l’automne 1997 au CIRM (Luminy) pour des postdoctorants sous la direction de M. Waldschmidt, R. Tijdeman et Yu. Nesterenko. Prenant prétexte de la preuve par Yu. Nesterenko (1996) de l’indépendance algébrique de \(\pi\), \(e^\pi\) et \(\Gamma(1/4)\) (plus généralement de valeurs prises par les séries d’Eisenstein \(E_2(\tau)\), \(E_4(\tau)\), \(E_6(\tau)\) et l’exponentielle \(e^{2i\pi\tau})\), le livre expose en détails les techniques actuelles utilisées pour l’indépendance algébrique. Chaque chapitre est rédigé par un chercheur spécialiste de la question traitée.
Le livre se compose de quatre parties: après l’exposition des derniers résultats de transcendance obtenus pour les fonctions et formes modulaires (chapitres 1 à 4), une deuxième partie donne les notions nécessaires d’algèbre commutative (chapitres 5 à 9: théorie de l’élimination, théorème de Bézout, critères d’indépendance algébrique), la troisième partie présente des lemmes de zéros, les uns plus spécifiques aux fonction modulaires, les autres plus généraux (chapitres 10 et 11). Enfin la dernière partie (chapitres 12 à 16) développe des applications des outils présentés auparavant, retrouvant, en particulier, des résultats classiques et posant des questions ouvertes.
C’est un livre indispensable pour qui s’intéresse à l’indépendance algébrique.
Contents:
Ch. 1: \(\Theta(\tau,z)\) and transcendence (1–11) (Daniel Bertrand);
Ch. 2: Mahler’s conjecture and other transcendence Results (13–26) (Guy Diaz);
Ch. 3: Algebraic independence for values of Ramanujan functions (27-46) (Yu. V. Nesterenko);
Ch. 4: Some remarks on proofs of algebraic independence (47–51) (Patrice Philippon);
Ch. 5: Élimination multihomogène (53–81) (Guy Rémond);
Ch. 6: Diophantine geometry (83–94) (Patrice Philippon);
Ch. 7: Géométrie diophantienne multiprojective (95–131) (Guy Rémond);
Ch. 8: Criteria for algebraic independence (133–141) (Patrice Philippon);
Ch. 9: Upper bounds for (geometric) Hilbert functions (143–148) (Daniel Bertrand);
Ch. 10: Multiplicity estimates for solutions of algebraic differential equations (149–165) (Yu. V. Nesterenko);
Ch. 11: Zero estimates on commutative algebraic groups (167–185) (Damien Roy);
Ch. 12: Measures of algebraic independence for Mahler functions (187–197) (Ku. Nishioka);
Ch. 13: Algebraic Independence in algebraic groups. Part I: Small transcendence degrees (199–211) (Michel Laurent);
Ch. 14: Algebraic independence in algebraic groups. Part II: Large transcendence degrees (213–225) (Michel Waldschmidt);
Ch. 15: Some metric results in Transcendental Numbers Theory (227-237) (Francesco Amoroso);
Ch. 16: The Hilbert Nullstellensatz, inequalities for polynomials, and algebraic independence (239–248) (W. Dale Brownawell).
Bibliography (249–253); Index (254–256).
[Ably] M. Ably. Résultats quantitatifs d’indépendance algébrique pour les groupes algébriques, J. Number Theory 42, (1992), 194-231.
[Amol] F. Amoroso. On the distribution of complex numbers according to their transcendence types, Ann. Mat. Pura Appl. 161, (1988), 359-368.
[Amo2] F. Amoroso. Values of polynomials with integer coefficients and distance to their common zeros, Acta Arith. 68/2, (1994), 101-112.
[Andl] Y. André. G-fonctions et transcendance. J. Reine Angew. Math. 476, (1996), 95-125.
[And2l Y. André. Quelques conjectures de transcendance issues de la géométrie algébrique. Manuscript, (1997).
[Barl] K. Barré. Mesures de transcendance pour l’invariant modulaire, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér.1 323, (1996), 447-452.
[Bar2] K. Barré. Mesure d’approximation simultanée de \(q\) et \( J(q)\), J. Number Theory 66, (1997), 102-128.
[Bar3] K. Barré. Fonctions modulaires et transcendance, Thèse Université de St-Étienne, (17/6/1997).
[BDGP] K. Barré, G. Diaz, F. Gramain, G. Philibert. Une preuve de la conjecture de Mahler-Manin, Invent. Math. 124, (1996), 1-9.
[Berl) D. Bertrand. Séries d’Eisenstein et transcendance, Bull. Soc. Math. Rance 104, (1976), 309-321.
[Ber2] D. Bertrand. Fonctions modulaires, courbes de Tate et indépendance algébrique, Sém. Delange-Pisot-Poitou (Théorie des Nombres), 19ème Année (1977-78), no. 36.
[Ber3l D. Bertrand. Fonctions modulaires et indépendance algébrique, Astérisque 61, (1979), 29-54.
[Ber4] D. Bertrand. Valeurs de fonctions theta et hauteurs \(p\)-adiques. Prog. Math. 2, Birkhäuser, (1982), 1-11.
[Ber5] D. Bertrand. Lemmes de zéros et nombres transcendants, Sém. Bourbaki 1985/86, Astérisque 145-146, (1987), 21-44.
[Ber6) D. Bertrand. Minimal heights and polarizations on group varieties. Duke Math. J. 80, (1995), 223-250.
[Ber7] D. Bertrand. Theta functions and transcendence, The Ramanujan J. 1, (1997), 339-350.
[Bro1] W. D. Brownawell. Zero estimates for solutions of differential equations, in Approximations diophantiennes et nombres transcendants, Luminy, 1980, eds. D. Bertrand, M. Waldschmidt, Prog. Math. 31, (1983), Birkhäuser.
[Bro2l W. D. Brownawell. On the development of Gel’fond’s method. Proc. Southern Illinois Conf., Southern Illinois Univ., Carbondale, 1979, Lecture Notes in Math. 751, Springer, Berlin, (1979), 18-44.
[Bro3] W. D. Brownawell. Note on a paper of P. Philippon, Michigan Math. J. 34, (1987), 461-464.
[Bro4J W.D. Brownawell. Bounds for the degrees in the Nullstellensatz, Ann. of Math. 126, (1987), 577-591.
[Bro5] W.D. Brownawell. Large transcendence degree revisited. I, in Diophantine Approximation and Transcendence Theory (Bonn 1985), ed. G. Wüstholz, Lecture Notes in Math. 1290, Springer, (1987), 149-173.
[Bro6] W. D. Brownawell. Local diophantine Nullstellen inequalities, J. Amer. Math. Soc. 1, (1988), 311-322.
[Bro7] W.D. Brownawell. A pure power version of the Nullstellensatz, Mich. Math. J., 1998, (to appear).
[BM1] W. D. Brownawell, D. W. Masser. Multiplicity estimates for analytic functions 1, J. Reine Angew. Math. 314, (1980), 200-216.
[BM2] W. D. Brownawell, D. W. Masser, Multiplicity estimates for analytic functions II, Duke Math. J. 47, (1980), 273-295.
[BT] W. D. Brownawell, R. Tubbs. Large transcendence degree revisited. II, in: Diophantine Approximation and Ti-anscendence Theory (Bonn 1985), ed. G. Wüstholz, Lecture Notes Math. 1290, Springer, (1987), 175-188.
[Cav] D. Caveny. Commutative algebraic groups and refinements of the Gel’fond-Fel’dman measure. Sympos. Diophantine Problems (Boulder, 1994), Rocky Mountain J. Math. 26/3,(1996),889-935.
[Chul] G. V. Chudnovsky. Algebraic independence of values of exponential and elliptic functions. Proc ICM Helsinki, vol 1, (1978), 339-350; See also: Transcendence methods and theta functions, Proc. Symp. Pure Math., 49, vol 2, Amer. Math. Soc., 167-232.
[Chu2j G. V. Chudnovsky. Contributions to the theory of transcendental numbers, Math. Surveys and Monographs, No. 19, Amer. Math. Soc, (1984).
[Coh] P. Cohen. On the coefficients of the transformation polynomials for the elliptic modular function, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 95, (1984), 389-402.
[Del] S. Delaunay. Grands degrés de transcendance pour la fonction exponentielle; Modification des hypothèses techniques dans la méthode de Brownawell, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 5-(6), (1996), 69-104.
[Den] L. Denis. Lemmes de multiplicités et intersection, Comment. Math. Helv. 70, (1995), 235-247.
[Dial] G. Diaz. Généralisation d’un résultat de W. D. Brownawell. - M. Waldschmidt, Bull. Soc. Math. France 117/3, (1989), 267-283.
[Dia2J G. Diaz. Grands degrés de transcendance pour des familles d’exponentielles, J. Number Theory 31, (1989), 1-23.
[Dia3] G. Diaz. La conjecture des quatre exponentielles et les conjectures de D. Bertrand sur la fonction modulaire, J. Théorie Nombres Bordeaux 9, (1997), 229-245.
[DNNS1] D. Duverney, Ke. Nishioka, Ku. Nishioka, I. Shiokawa. Transcendence of Jacobi’s theta series, Proc. Japan. Acad. Sci, Ser A 72, (1996), 202-203.
[DNNS2] D. Duverney, Ke. Nishioka, Ku. Nishioka, I. Shiokawa. Transcendence of Rogers-Ramanujan continued fraction and reciprocal sums of Fibonacci numbers, Proc. Japan Acad. Sci., Ser. A 73, No. 7, (1997).
[FNJ N. I. Fel’dman, Yu. V. Nesterenko. Number Theory IV. Transcendental Numbers, Encyclopaedia, Math. Sci. 44, Springer, Berlin, (1998).
[Gel1] A. O. Gel’fond. On the algebraic independence of algebraic powers of algebraic numbers, Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S.) 64, (1949), 277-280, (Russian).
[Gel2] A. O. Gel’fond. On the algebraic independence of transcendental numbers of certain classes, Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 4, no. 5 (33), (1949), 14-48, (Russian).
[Gel3] A.O. Gel’fond. Transcendentnye i algebraicheskie chisla. (Russian) Gosudarstv. Izdat. Tekhn.-Teor. Lit., Moscow, (1952), 224 pp. Transcendental and algebraic numbers. Translated from the first Russian edition by Leo F. Boron. Dover Publications, Inc., New York, (1960).
[Jab] E.M. Jabbouri. Sur un critère pour l’indépendance algébrique de P. Philippon. Approximation diophantienne et nombres transcendants (Luminy, 1990), W. de Gruyter, Berlin, (1992), 195-202.
[Jad] C. Jadot. Critères pour l’indépendance algébrique et linéaire. Thèse. Université Paris VI, 1996.
[Laul] M. Laurent. Hauteur de matrices d’interpolation. In: Approximations diophantiennes et nombres transcendants, Luminy 1990 (P. Philippon ed.), W. de Gruyter, (1992), 215-238.
[Lau2] M. Laurent. Linear forms in two logarithms and interpolation determinants, Acta Arith. 64/2, (1994), 181-199.
[LR1] M. Laurent, D. Roy. Sur l’approximation algébrique en degré de transcendance un, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 49, (1999), 27-55.
[LR2] M. Laurent, D. Roy. Criteria for algebraic independence with multiplicities and approximation by hypersurfaces, (submitted).
[Lio] J. Liouville. Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n’est ni algébrique, ni même réductible à des irrationelles algébriques, J. Math. Pures Appl. 16, (1851), 133-142.
[Mah1] K. Mahler. On algebraic differential equations satisfied by automorphic functions, J. Austral. Math. Soc. 10, (1969), 445-450.
[Mah2] K. Mahler. Remarks on a paper by W. Schwarz, J. Number Theory 1, (1969), 512-521.
[Mah3] K. Mahler. On the coefficients of transformation polynomials for the modular function, Bull. Austral. Math. Soc. 10, (1974), 197-218.
[Masi] D. W. Masser. Elliptic functions and transcendence, Lecture Notes in Math. 437, Springer, Berlin, (1975).
[Mas2] D. W. Masser. On polynomials and exponential polynomials in several variables, Invent. Math. 63, (1981), 81-95.
[Mwl] D. W. Masser, G. Wüstholz. Zero Estimates on Group Varieties I, Invent. Math. 64, (1981), 489-516.
[MW2] D. W. Masser, G. Wüstholz. Fields of large transcendence degree generated by values of elliptic functions, Invent. Math. 72, (1983), 407-464.
[MW3] D. W. Masser, G. Wüstholz. Zero Estimates on Group Varieties II, Invent. Math. 80, (1985), 233-267.
[Mor1] J.-C. Moreau. Démonstrations géométriques de lemmes de zéros, II, in: Approximation diophantienne et nombres transcendants, Luminy 1982, Prog. Math. 31, Birkhäuser, (1983), 191-197.
[Nag] N.D. Nagaev. Division of independent variable and transcendence, Math. Notes 57, (1995), 292-299.
[Nak] M. Nakamaye. Multiplicity estimates and the product theorem, Bull. Soc. Math. France 123, (1995), 155-188,
[Nesll Yu. V. Nesterenko. On algebraic independence of the components of solutions of a system of linear differential equations, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, No. 3, (1974), 492-512 (Russian).
[Nes2] Yu. V. Nesterenko. Estimates of the orders of functions of a certain class and their applications in the theory of transcendental numbers, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 41, No. 2, (1977), 253-284; Translated in Math. USSR Izv. 11, (1977), 239-270.
[Nes3] Yu. V. Nesterenko. Bounds for the characteristic function of a prime ideal, Math. Sb., 123(165)(1), (1984), 11-34; Translation in Math. USSR Sb. 51, (1985), 9-32.
[Nes4] Yu.V. Nesterenko. On the algebraic independence of algebraic powers of numbers, Math. Sb. 123(165)(4), (1984), 435-459; Translation in Math. USSR Sb. 51, (1985), 429-454.
[Nes5] Yu. V. Nesterenko. Estimates for the number of zeros of certain functions, in New advances in transcendence theory, ed. A.Baker, Cambridge Univ. Press, (1988), 263-269.
[Nes6] Yu. V. Nesterenko. Estimates for the number of zeros of functions of certain classes, Acta Arith. 53, No. 1, (1989), 29-46 (in Russian).
[Nes7] Yu. V. Nesterenko. Transcendence degree of some fields generated by values of the exponential function. Mat. Zametki 46, No. 3, (1989), 40-49, 127; English translation in Math. Notes 46, No. 3, (1989), 706-712.
[Nes8] Yu. V. Nesterenko. Modular functions and transcendence problems, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. 1 322, (1996), 906-914.
[Nes9] Yu. V. Nesterenko. Modular functions and transcendence questions, Mat. Sb., 187, No. 9, (1996), 65-96 (Russian); English translation in Sb. Math. 187, No. 9, 1319-1348.
[Nes10] Yu. V. Nesterenko. On the measure of algebraic independence of the values of Ramanujan functions, Trudy Matematicheskogo Instituta imeny V. A.Steklova 218, (1997), 299-334 (Russian); English translation in Proc. Steklov Inst. Math. 218, (1997), 294-331.
[Nis1] Ke. Nishioka, A conjecture of Mahler on automorphic functions. Arch, Math. 53, (1989), 46-51.
[Nis2] Ku. Nishioka. Mahler functions and transcendence, Lecture Notes in Math. 1631, Springer, (1996).
[Phi1] G. Philibert. Une mesure d’indépendance algébrique, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 38, No. 3, (1988), 85-103.
[Phi2] G. Philibert. Un lernme de zéros modulaire, J. Number Theory 66, (1997), 306-313.
[PPhl] P. Philippon. Indépendance algébrique de valeurs de fonctions exponentielles \(p\)-adiques, J. Reine Angew. Math. 329, (1981), 42-51.
[PPh2] P. Philippon. Critères pour l’indépendance algébrique, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 64, (1986), 5-52.
[PPh3] P. Philippon. Lemmes de zéros dans les groupes algébriques commutatifs, Bull. Soc. Math. France 114, (1986), 355-383; Errata et addenda, ibidem 115, (1987), 397-398,
[PPh4] P. Philippon. Théorème des zéros effectif, d’après J. Kollár, Publ. Univ. P. & M. Curie-Paris VI 88, (1988), Exposé 6.
[PPh5] P. Philippon. Théorème des zéros effectif et élimination, Sém. Théorie Nombres Bordeaux 1, (1989), 137-155.
[PPh6j P. Philippon. Dénominateurs dans le théorème des zéros, Acta Arith. 88, (1991), 1-25.
[PPh7] P. Philippon. Sur des hauteurs alternatives I, Math. Ann. 289, (1991), 255-283; II, Ann. Inst. Fourier 44, (1994), 1043-1065; III, J. Math. Pures Appl. 74, (1995), 345-365.
[PPh8j P. Philippon. Deux remarques sur la géométrie des nombres. In: Problèmes diophantiens 92-93. See also : Approximation algébrique dans les espaces projectifs I, J. Number Theory, to appear.
[PPh9] P. Philippon. Nouveaux lemmes de zéros dans les groupes algébriques commutatifs, Rocky Mountain J. Math. 26, (1996), 1069-1088.
[PPhl0] P. Philippon. Une approche méthodique pour la transcendance et l’indépendance algébrique de valeurs de fonctions analytiques, J. Number Theory 64, (1997), 291-338.
[PPhllj P. Philippon. Indépendance algébrique et K-fonctions, J. Reine Angew Math. 497, (1998), 1-15.
[Rem] G. Rémond. Sur des problèmes d’effectivité en géométrie diophantienne, Thèse Université Paris VI, (1997).
[Reyl] E. Reyssat. Un critère d’indépendance algébrique, J. Reine Angew. Math. 329, (1981), 66-81.
[Rey2] E. Reyssat. Propriétés d’indépendance algébrique de nombres liées aux fonctions de Weierstrass, Acta Arith. 41, (1982) , 291-310.
[RWJ D. Roy, M. Waldschmidt. Approximation diophantienne et indépendance algébrique de logarithmes, Ann. Sci. École Norm. Sup. 30, (1997) , 753-796.
[Schl] T. Schneider. Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen 1, J. Reine Angew. Math. 172, (1934), 65-69.
[Sch2] T. Schneider. Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale, Math. Ann. 113, (1937), 1-13.
[Shi] Shidlovskii,A., Transcendental numbers, Walter de Gruyter, Berlin, (1989), (Translated from Russian).
[Sie] C.L. Siegel. Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen, Abh. Preuss. Akad. der Wissensch., Phys.-math. KI., Jahrg. 1, (1929), 1-70.
[Sou] C. Soulé. Géométrie d’Arakelov et théorie des nombres transcendants, in Journées arithmétiques de Luminy, 17–21 juillet 1989, Astérisque 198-200, (1991), 355-371.
[Tijl] R. Tijdeman. On the-number of zeros of general exponential polynomials, Indag. Math. 33, (1971), 1-7.
[Tij2] R. Tijdeman. On the algebraic independence of certain numbers, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 74 = Indag. Math. 33, (1971), 146-162.
[Tubl] R. Tubbs. Algebraic groups and small transcendence degree I, J. Number Theory 25, (1987), 279-307.
[Tub2] R. Tubbs. Algebraic groups and small transcendence degree II, J. Number Theory 35, (1990), 109-127.
[Wall] M. Waldschmidt, Nombres transcendants, Springer, (1974).
[Wal2] M. Waldschmidt. Les travaux de G. V. Chudnovskii sur les nombres transcendants, Lecture Notes in Math. 567, Springer, Berlin, (1977), 274-292.
[Wal3] M. Waldschmidt. Nombres transcendants et groupes algébriques, Astérisque 69-70, (1979).
[Wal4] M. Waldschmidt. Transcendance et exponentielles en plusieurs variables, Invent. Math. 63/1, (1981), 97-127.
[Wal5] M. Waldschmidt. Algebraic independence of transcendental numbers. Gel’fond’s method and its developments, in Perspectives in Math., Birkhäuser, Basel-Boston, (1984), 551-571.
[Wal6] M. Waldschmidt. Petits degrés de transcendance par la méthode de Schneider en une variable, R. C. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 7, (1985), 143-148.
[Wal7j M. Waldschmidt. Groupes algébriques et grands degrés de transcendance, Acta Math., 156, (1986), 253-302.
(Wal8] M. Waldschmidt. Linear independence of logarithms of algebraic numbers, Report 116, The Inst. Math. Sci. (IMSc.), (1992).
[Wal9] M. Waldschmidt. Transcendance et indépendance algébrique de valeurs de fonctions modulaires, in CNTA5 - Carleton, Août 1996, eds. R. Gupta, K. Williams, CRM Proc. Lecture Notes, Amer. Math.Soc. 19, (1999), 353-375.
[Wal10] M. Waldschmidt. Sur la nature arithmétique des valeurs de fonctions modulaires, Séminaire Bourbaki, 1996-97, no 824.
[Wal11] M. Waldschmidt. Algebraic independence of transcendental numbers: a survey, in Monograph on Number Theory, (eds.) R.P. Bambah, V.C. Dumir, R.J. Hans Gill, Indian National Sci. Acad., Hindustan Book Agency, New-Delhi, (1999), 497-527.
[Wus1j G. Wüstholz. Recent progress in transcendence theory, in Number Theory, Noordwijkerhout 1983, ed. H. Jager, Lecture Notes in Math. 1068, Springer, (1984), 280-296.
[Wus2] G. Wüstholz. Multiplicity estimates on group varieties, Ann. of Math, 129, (1989), 471-500.

MSC:

11J85 Algebraic independence; Gel’fond’s method
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11F03 Modular and automorphic functions
11J91 Transcendence theory of other special functions
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI Link