Shelah, Saharon; Spinas, Otmar The distributivity numbers of finite products of \({\mathcal P}(\omega)/\text{fin}\). (English) Zbl 0949.03044 Fundam. Math. 158, No. 1, 81-93 (1998). Für eine (endliche oder unendliche) Kardinalzahl \(\lambda\) sei (\({\mathcal P}(\omega)/ \text{fin})^\lambda\) die Menge aller Abbildungen \(p\) von \(\lambda\) in \({\mathcal P}(\omega)/ \text{fin}\) mit \(p(\alpha)\neq 0\) für alle \(\alpha \in\lambda\). Dabei ist \({\mathcal P}(\omega)/ \text{fin}\) die Boolesche Algebra aller Teilmengen von \(\omega= \mathbb{N}= \aleph_0\) modulo dem Ideal der endlichen Mengen. Sei r.o.\(({\mathcal P}(\omega)/ \text{fin})^\lambda\) die vollständige Boolesche Algebra aller regulär-offenen Teilmengen von \(({\mathcal P}(\omega)/ \text{fin})^\lambda\) [siehe T. Jech, Set theory (Academic Press, New York) (1978; Zbl 0419.03028), p. 152]. Mit \(h(\lambda)\) wird die kleinste Kardinalzahl \(\kappa\) bezeichnet, für die r.o.\(({\mathcal P}(\omega)/ \text{fin})^\lambda\) nicht mehr \(\kappa\)-distributiv ist.Die beiden Autoren hatten in einer früheren Arbeit [“The distributivity numbers of \({\mathcal P}(\omega)/ \text{fin}\) and its square”, Trans. Am. Math. Soc. 352, No. 5, 2023-2047 (2000; Zbl 0943.03036)] gezeigt, daß die Aussage \(h(2)< h(1)\) mit den üblichen mengentheoretischen Axiomen von Zermelo-Skolem-Fraenkel und dem Auswahl-Axiom, ZSF+AC, widerspruchsfrei ist.In der vorliegenden Arbeit wird für jede natürliche Zahl \(n\geq 1\) ein Modell von ZSF+AC konstruiert, in dem \(h(n+1)= \aleph_1<h(n) =\aleph_2\) gilt. Der Beweis verwendet eine \(n\)-dimensionale Version der Mathias’schen Erzwingungs-Relation (Mathias-forcing).Es wird außerdem gezeigt, daß es widerspruchsfrei ist anzunehmen, daß die Erzwingungs-Relationen von Laver und Miller das Kontinuum \({\mathfrak c}\) auf eine Kardinalzahl \(<h(n)\) kollabieren. Reviewer: U.Felgner (Tübingen) Cited in 16 Documents MSC: 03E40 Other aspects of forcing and Boolean-valued models 03E35 Consistency and independence results 03E25 Axiom of choice and related propositions 06E05 Structure theory of Boolean algebras Keywords:forcing; Boolean algebras Citations:Zbl 0419.03028; Zbl 0943.03036 PDFBibTeX XMLCite \textit{S. Shelah} and \textit{O. Spinas}, Fundam. Math. 158, No. 1, 81--93 (1998; Zbl 0949.03044) Full Text: arXiv EuDML