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Zbl 0929.51005
Ball, Simeon
On nuclei and blocking sets in Desarguesian spaces. (English)
[J] J. Comb. Theory, Ser. A 85, No.2, 232-236 (1999). ISSN 0097-3165

Es sei $P_n$ bzw. $A_n$ der endliche $n$-dimensionale desarguessche projektive bzw. affine Raum der Ordnung $q = p^s$. Eine Punktmenge $S$ in $P_n$ bzw. $A_n$ heisst eine $t$-fache Blockademenge $(t \ge 1)$, wenn jede Gerade von $P_n$ bzw. $A_n$ die Menge $S$ in mindestens $t$ Punkten trifft. Ein $t$-facher Nukleus einer Punktmenge $S$ von $P_n$ ist jeder nicht zu $S$ gehörende Punkt, durch den jede Gerade die Menge $S$ in mindestens $t$ Punkten trifft. \par Der Verfasser beweist: Es sei $S$ eine Punktmenge von $P_n$ der Kardinalität $t \Theta_{n-1} + k -1$, wobei $\Theta_{n-1} = { q^n -1\over q -1}$ ist. Gibt es in $P_n$ einer Hyperebene $H$, die genau $i$ Punkte von $S$ enthält, so ist die Anzahl der $t$-fachen Nuklei in $A_n = P_{n} \setminus H$ höchstens $(k + r)(q-1)$ sofern für $r \geq 0$ der Binomialkoeffizient ${t \Theta_{n-1} + k - i - 1 \choose k + r}$ nicht kongruent $0$ modulo $p$ ist. \par Als Anwendung dieses Satzes ergibt sich: Ist $S$ eine $t$-fache Blockademenge in $A_n$ und $e^{(t)}$ der höchste Exponent, so dass $p^{e (t)}$ die Zahl $t$ teilt, so hat $S$ mindestens $(t + 1) q^{n-1} - p^{e (t)}$ Punkte. Für $e (t) = 0$ hat diese Schranke {\it P. Sziklai} [Discrete Math. 174, No. 1-3, 323-327 (1997; Zbl 0892.51006)] bewiesen.
[K.Strambach (Erlangen)]

MSC 2000:: *51E21 Blocking sets, ovals, k-arcs

Keywords: blocking set; $t$-blocking set; nucleus of a blocking set

Citations: Zbl 0892.51006

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