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On a conjecture about the rational torsion points of the Jacobians of curves. (Sur une conjecture sur les points de torsion rationnels des jacobiennes de courbes.) (French) Zbl 0924.14015

From the introduction: E. V. Flynn formule [J. Number Theory 36, No. 3, 257-265 (1990; Zbl 0757.14025); p. 264], la conjecture.
Il existe une constante \(\kappa\) telle que, pour tout entier \(g\geq 1\), et pour tout entier \(l\) tel que \(1\leq l<\kappa g\), il existe une courbe hyperelliptique définie sur \(\mathbb{Q}\), de genre \(g\), dont la jacobienne est munie d’un point rationnel d’ordre \(l\).
Le but de cet article est de démontrer de façon constructive cette conjecture, avec la constante \(\kappa=3\). Plus précisément, nous montrons ici les résultats suivants, la notion de famille étant définie plus loin:
Théorème 1. Soit \(g\) un entier \(\geq 1\). Pour tout entier \(l\) tel que \(1\leq l\leq 2g+1\), il existe une famille géométrique à un paramètre de courbes hyperelliptiques définie sur \(\mathbb{Q}\), de genre \(g\), dont la jacobienne possède un point rationnel d’ordre \(l\).
Théorème 2. Soient \(g\geq 1\). Si \(l\) est un entier pair tel que \(2g+2\leq l\leq 3g\), il existe une famille géométrique à un paramètre de courbes hyperelliptiques de genre \(g\) définies sur \(\mathbb{Q}\), dont la jacobienne possède un point rationnel d’ordre \(l\). Si \(l\) est un entier impair tel que \(2g+1\leq l\leq 3g-1\), il existe au moins une courbe hyperelliptique de genre \(g\) définie sur \(\mathbb{Q}\), dont la jacobienne possède un point rationnel d’ordre \(l\).
Les démonstrations de ces théorèmes sont effectives.

MSC:

14H40 Jacobians, Prym varieties
14G05 Rational points

Citations:

Zbl 0757.14025
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Full Text: DOI Crelle EuDML