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Note on the ellimination problem. (Note über ein Eliminationsproblem.) (German) JFM 09.0480.01

Eine Correspondenz zwischen Punkten einer Geraden oder einer rationalen Curve ist algebraisch durch eine Gleichung zwischen den entsprechenden Parameterwerthen darstellbar. Die Punkte jedoch einer Curve von höherem Geschlecht ordnen sich nicht einzelnen Parameterwerthen zu, die sie eindeutig definiren; man muss sie vielmehr als Theil eines vollständigen Schnittpuktsystems auffassen und durch die Gleichung der Schnittcurve darstellen. Eine Correspondenz wird dann durch eine Gleichung zwischen den Coordinaten zweier Punkte \(x\) und \(y\) (welche neben der der Curve besteht) definirt. Dabei tritt häufig der Umstand auf, dass diese “Correspondenzgleichung” durch Gleichsetzen der Coordinaten der beiden Punkte \(x\) und \(y\) identisch oder doch unter Zeziehung der gegebenen Curvengleichung und zwar in der Weise erfüllt wird, wie etwa die Gleichung einer Curve durch die Coordinaten eines ihr angehörenden vielfachen Punktes. Die Ordnung des Verschwindens giebt dann die “Werthigkeit” des Punktes \(x=y\) an. Trotz der hieraus entsprigenden Complication der Betrachtung wird, wie Referent gezeigt hat, diejenige Formel, welche man an Stelle des Chasles’schen Correspondenzprincips erhält, ausnehmend einfach. Das gleiche gilt von einer verwandten Formel für die Anzahl der zweien Correspondenzen gleichzeitig entsprechenden Punktepaare einer Curve von höherem Geschlecht. Den Beweis derselben führt der Verfasser vorliegender Note nach einem von dem bekannten abweichender Verfahren.

MSC:

14H99 Curves in algebraic geometry
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