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Pro-\(\ell\)-extensions of \(\mathfrak l\)-rational number fields. (Pro-\(\ell\)-extensions de corps de nombres \(\mathfrak l\)-rationnels.) (French) Zbl 0896.11043

J. Number Theory 65, No. 2, 240-267 (1997); corrigendum ibid. 80, No. 2, 318-319 (2000).
Soit \(\ell\) un nombre premier. Un corps de nombres \(K\) contenant les racines \(\ell\)-ièmes de l’unité est \({\mathfrak L}\)-rationnel en une place \(\ell\)-adique (i.e. au dessus de \(\ell)\) \({\mathfrak L}\) lorsque la \(\ell\)-extension \(\ell\)-ramifiée \({\mathfrak L}\)-décomposée maximale de \(K\) est triviale. Lorsque le corps \(K\) est rationnel en son unique place \(\ell\)-adique, on retrouve la notion classique de \(\ell\)-rationalité ou de \(\ell\)-régularité. Mais s’il est rationnel en au moins deux places, il admet en tout et pour tout deux places \(\ell\)-adiques; les auteurs parlent alors de birationalité.
Dans une seconde partie, l’interprétation kummérienne de la \({\mathfrak L}\)-rationalité permet d’étendre cette notion au cas des corps de nombres contenant ou non les racines \(\ell\)-ièmes de l’unité. L’article s’achève par l’étude de la propagation de la \({\mathfrak L}\)-rationalité dans une \(\ell\)-extension \(L\) de \(K\) lorsque \(\ell\) est impair.

MSC:

11R20 Other abelian and metabelian extensions
11R18 Cyclotomic extensions
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