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On the approximation of irrationals by rationals. (English) Zbl 0896.11027

S. Uchiyama [Tsukuba J. Math. 4, 1-7 (1980; Zbl 0467.10023)] bewies, daß es zu beliebigen \(\xi\in{\mathbb R} \setminus {\mathbb Q}\) und \(s,a,b\in{\mathbb Z}\) mit \(s\geq 2\) und \(s\nmid (a,b)\) unendlich viele \((u,v) \in \mathbb Z^2\) mit \(v\not=0\) gibt, für die \[ | \xi-u/v|< s^2/(4v^2) \tag \(*\) \] und \(u\equiv a, v\equiv b \bmod s\) gelten. Ziel der vorliegenden Arbeit ist der Nachweis, daß die Konstante 1/4 in \((\ast)\) im allgemeinen bestmöglich ist.
Gestützt auf grundlegende Tatsachen aus der Kettenbruchtheorie wird dann gezeigt: Zu jedem ganzen \(s\geq 2\) und zu jedem \(\delta\in{\mathbb R}_+\) existiert ein \(\xi\in{\mathbb R}\setminus {\mathbb Q}\), so daß für alle \(u,v\in{\mathbb Z}\) mit \(u\equiv v \equiv [(s+1)/2]\) mod\( s\) die Ungleichung \[ | \xi-u/v| \geq (1-\delta)([s/2]/v)^2 \] besteht. Hier geht der Fall \(s=2\) auf L. C. Eggan [Trans. Am. Math. Soc. 99, 102-117 (1961; Zbl 0100.03904)] zurück.
Des weiteren gibt Verf. für jedes ganze \(s\geq 14\) bei geeignetem irrationalem \(\xi\) die untere Schranke \(| \xi-u/v| \;> \;s/v^2\) unter folgenden schwächeren Bedingungen an \(u, v\) an: (i) Beide sind teilerfremd und genügen \(s| u\) und \((\ast\ast)\) \(v\not\equiv 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6 \bmod s\) (hier können die Rollen von \(u\) und \(v\) vertauscht werden). (ii) \(u, v\) genügen \((\ast\ast)\) und \(u-v\equiv s/2\bmod s\); hier hat man zusätzlich \(2| s\) vorauszusetzen.

MSC:

11J04 Homogeneous approximation to one number
11J70 Continued fractions and generalizations
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References:

[1] Eggan, Amer. Math. Soc. 99 pp 102– (1961)
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[11] Uchiyama, J. Math. 4 pp 1– (1980)
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