×

Algebraic independence of the values of power series generated by linear recurrences. (English) Zbl 0876.11036

Betrachtet werden lineare Rekurrenzen \((a_k)_{k=0,1, \dots}\) so daß \(a_0, \dots, a_{n-1} \in\mathbb{N}_0\) sind, nicht alle Null, und daß (*): \(a_{k+n} =c_1a_{k+n-1} +\cdots +c_na_k\) für alle \(k\in\mathbb{N}_0\) gilt mit \(c_1, \dots, c_n\in\mathbb{N}_0\), \(c_n>0\). Ist \((a_k')\) eine weitere lineare Rekurrenz mit denselben Eigenschaften wie \((a_k)\), die insbesondere ebenfalls (*) erfüllt, so heißen die beiden Rekurrenzen äquivalent, wenn es ein \(j\in\mathbb{N}_0\) gibt, so daß \(a_k=a_{j+k}'\) \((0\leq k<n)\) oder \(a_k'= a_{j+k}\) \((0\leq k<n)\) gilt. Für \(\Phi(X): =X^n-c_1 X^{n-1}- \cdots -c_n\) gelte \(\Phi (\pm 1)\neq 0\) und kein Quotient zweier verschiedener Nullstellen von \(\Phi\) sei eine Einheitswurzel. Verfasser beweist unter diesen Voraussetzungen die folgenden beiden Sätze.
1. Für \(i=1, \dots, s\) seien \((a_{i,k})_{k=0,1, \dots}\) lineare Rekurrenzen wie oben, die sämtliche (*) genügen; in \(E:= \{z\in\mathbb{C} \mid |z|<1\}\) sei \(f_i (z): =\sum_{k\geq 0} z^{a_{i,k}}\) gesetzt und sei \(\alpha\in E \cap\overline \mathbb{Q}^\times\). Dann gilt: Die Zahlen \(f_i^{(m)} (\alpha)\) mit \(i=1, \dots, s\); \(m\in\mathbb{N}_0\) sind genau dann voneinander algebraisch unabhängig, wenn die \(s\) Rekurrenzen \((a_{i,k})\) paarweise inäquivalent sind.
2. Sei \((a_k)\) eine lineare Rekurrenz wie oben, jedoch keine geometrische Folge. In \(E\) sei \(f(z): =\sum_{k\geq 0} z^{a_k}\) und \(\alpha_1, \dots, \alpha_t \in E\cap \overline \mathbb{Q}^\times\) seien paarweise verschieden. Dann sind folgende drei Eigenschaften gleichwertig: (i) Die \(f^{(m)} (\alpha_i)\) mit \(i=1, \dots, t\); \(m\in\mathbb{N}_0\) sind algebraisch abhängig. (ii) \(1,f(\alpha_1), \dots, f(\alpha_t)\) sind über \(\overline \mathbb{Q}\) linear abhängig. (iii) Es gibt eine nichtleere Teilmenge \(\{\tau_1, \dots, \tau_s\}\) von \(\{1, \dots, t\}\) Einheitswurzeln \(\zeta_1, \dots, \zeta_s\), ein \(\gamma\in \overline\mathbb{Q}\) mit \(\alpha_{\tau _\sigma} =\zeta_\sigma \gamma\) für \(\sigma=1, \dots, s\) und \(\xi_1, \dots, \xi_s\in \overline \mathbb{Q}\), nicht alle Null, derart daß \(\sum^s_{\sigma=1} \xi_\sigma \zeta^{a_k}_\sigma =0\) für alle genügend großen \(k\) gilt.
Beide Sätze enthalten ein altes Ergebnis von K. Mahler [Math. Ann. 101, 342–366 (1929; JFM 55.0115.01)] für \(m=0\) und \(s=1\) bzw. \(t=1\). Für die Beweise stützt sich Verf. auf ein neues Resultat von K. Nishioka [Tôhoku Math. J., II. Ser. 48, 51–70 (1996; Zbl 0852.11036)] über die algebraische Unabhängigkeit der Werte von Funktionen in mehreren Variablen, die einem geeigneten System Mahlerscher Funktionalgleichungen genügen.

MSC:

11J85 Algebraic independence; Gel’fond’s method
11B37 Recurrences
11J91 Transcendence theory of other special functions
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI EuDML