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Weak solutions to a nonlinear partial differential equation of mixed type. (English) Zbl 0870.35058

Untersucht wird in \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}_+\) das Problem (E): \(u_t+(f(u))_x=(\beta(u))_{xx}\) mit \(u(x,0)=u_0(x)\) und \(f\in C^2(\mathbb{R})\) nichtlinear, \(\beta\in C^2(\mathbb{R})\) mit \(\beta(\lambda)= \beta'(\lambda)= \beta''(\lambda)=0\) für \(\lambda\in[a,b]\) \((a<0<b)\) und \(\beta'(\lambda)>0\) für \(\lambda\in\mathbb{R}\backslash[a,b]\). (E) ist “hyperbolisch” in \(H:=\{(x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}_+\mid\beta(u(x,t))=0\}\) und “parabolisch” in \(P:=P_+\cup P_-\) mit \(P_{\pm}:=\{(x,t)\in\mathbb{R}\times \mathbb{R}_+\mid\beta(u(x,t))\gtrless 0\}\). Verf. betrachtet hierzu die “vanishing viscosity” Approximation \((\text{E})_\varepsilon:u^\varepsilon_t+ (f(u^\varepsilon))_x- (\beta(u^\varepsilon))_{xx}=\varepsilon u^\varepsilon_{xx}\), \(u^\varepsilon(x,0)= u^\varepsilon_0(x)\) \((\varepsilon>0)\), und leitet a priori-Abschätzungen her. Dann folgen Konvergenzuntersuchungen, Ergebnisse zu \(H\) und \(P_{\pm}\) und eine Existenzaussage für schwache Lösungen, schließlich noch Existenz einer verallgemeinerten “travelling wave”.

MSC:

35K65 Degenerate parabolic equations
35L65 Hyperbolic conservation laws
76L05 Shock waves and blast waves in fluid mechanics
35D05 Existence of generalized solutions of PDE (MSC2000)
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