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Zbl 0853.65019
Carnicer, J.M.; García-Esnaola, M.; Peña, J.M.
Convexity of rational curves and total positivity. (English)
[J] J. Comput. Appl. Math. 71, No.2, 365-382 (1996). ISSN 0377-0427

Freiformkurven werden im allgemeinen mit Hilfe eines Kontrollpolygons und eines Systems von Funktionen (Bindefunktionen) erzeugt. Dabei gehört zu einem ebenen konvexen Kontrollpolygon eine konvexe Bézier-Kurve; das zugehörige Funktionensystem ist also konvexitätserhaltend.\par In der vorliegenden Arbeit befassen sich die Autoren allgemein mit Kennzeichnungen von monotonieerhaltenden und von konvexitätserhaltenden Funktionensystemen, auch bei verallgemeinerter Konvexität (geometrischer $k$-Konvexität). In diesem Zusammenhang spielen die total positiven Systeme von Bindefunktionen wegen ihrer gestaltserhaltenden Eigenschaften eine wichtige Rolle. Speziell die durch positive Gewichte erzeugten rationalen Kurven besitzen die gestaltserhaltenden Eigenschaften der total positiven Funktionensysteme.\par Die bewiesenen Kennzeichnungen sind von folgendem Typ (Korollar 4.9): Sei $(u_0(t),\dots, u_n(t))$ ein System nichtnegativer Funktionen mit $\sum^n_{i= 0} u_i> 0$. Dann gilt: Die Systeme $$(\lambda w_0 u_0,\dots, \lambda w_n u_n),\quad \lambda^{- 1}:= \sum^n_{i= 0} w_i u_i$$ erhalten genau dann für alle positiven $w_0,\dots, w_n$ die geometrische $k$-Konvexität, wenn der Vektor $(u_0,\dots, u_n)$ ein total positives System ist und $\text{span}\{u_0,\dots, u_n\}$ einen $n$-dimensionalen Tschebycheff Teilraum besitzt.
[O.Giering (München)]

MSC 2000:: *65D17 Computer aided design (modeling of curves and surfaces)
41A20 Approximation by rational functions

Keywords: rational curves; convexity; total positivity; monotonicity

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	Scientific prize winners of the ICM 2010
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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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