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On a measure theoretic aspect of diophantine approximation. (English) Zbl 0853.11058

Für eine Klasse sternförmiger, unbeschränkter, ebener Gebiete \(Y\) mit endlichem Volumen wird die Frage untersucht, wann sich das Volumen von \(Y\) berechnen läßt mittels des Leitkoeffizienten aus der Asymptotik von \(N_r:= \# (r^{-1} \Lambda \cap Y)\), wobei \(\Lambda\) ein Gitter von Kovolumen 1 in der Ebene ist. Für spezielle Wahlen von \(\Lambda\) führt dies zwangsläufig auf Fragen und Methoden der diophantischen Approximation. Insbesondere wird in einem Korollar zu Theorem 1 eine alte Abschätzung von H. Davenport und K. F. Roth [Mathematika 2, 160-167 (1955; Zbl 0066.29302)] unter einem neuen Aspekt betrachtet.
Das affirmative erste Theorem wird abgerundet durch die Erkenntnis, daß \(\Lambda\) so gewählt werden kann, daß der Leitkoeffizient in der Asymptotik von \(N_r\) einem beliebig vorgegebenen Wert \(\geq \text{vol} (Y)\) annimmt.

MSC:

11J83 Metric theory
11J68 Approximation to algebraic numbers
11H16 Nonconvex bodies

Citations:

Zbl 0066.29302
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Full Text: DOI EuDML