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Spectral values and eigenvalues of a quasicircle. (English) Zbl 0826.30014

Die Fredholmschen Eigenwerte traten zunächst bei der Integralgleichung mit Neumannschem Kern auf im Falle einer hinreichend glatten Jordankurve \({\mathfrak L}\). Es existiert hierzu eine umfangreiche schöne klassische Theorie von M. Schiffer und St. Bergmann. Dann fand L. V. Ahlfors noch einen wichtigen Zusammenhang mit quasikonformen Abbildungen, nämlich quasikonformen Spiegelungen an \({\mathfrak L}\). Da man aus der Charakterisierung der (reellen) Eigenfunktionen zu \({\mathfrak L}\) auch einfach ein Paar zugehöriger komplex-analytischer Funktionen erhält, ergibt sich auch eine Charakterisierung der Eigenwerte über ein solches Paar. Dabei ist die eine Funktion im Innengebiet analytisch, die andere im Außengebiet; und davon gehört eine ganz einfache Übergangsbedingung längs der Einheitskreislinie, in die der Eigenwert eingeht. Dieser vom Referenten [Math. Nachr. 76, 139-152 (1977; Zbl 0367.30005), hier Satz 5] zunächst für hinreichend glatte Jordankurven \({\mathfrak L}\) angegebene Sachverhalt wurde von J. Krzyẓ [Ann. Pol. Math. 46, 157-163 (1985; Zbl 0593.30013)] als Definition genommen und daraus eine eigene Eigenwerttheorie für quasikonforme \({\mathfrak L}\) aufgebaut. Nun ergibt sich jedes quasikonforme \({\mathfrak L}\) durch konforme Verheftung des Inneren des Einheitskreises mit dem Äußeren durch eine geeignete quasisymmetrische Verheftungsfunktion. Dadurch läßt sich natürlich die ganze Angelegenheit auch so betrachten. Man betrachtet Paare von analytischen Funktionen, eine im Inneren des Einheitskreises analytisch, die anderen im Äußeren (oder nach Stürzung wieder im Inneren) wobei eine gewisse Übergangsbedingung auf der Einheitskreislinie hinzukommt, in die die Verheftungsfunktion eingeht. Man gelangt so zu Eigenwerten von Verheftungsfunktionen. – Das wird in vorliegender Arbeit ab ovo studiert unter relativ schwachen Voraussetzungen, was natürlich einen gewissen technischen Aufwand erheischt. – Verwandte vorherige Arbeiten des Verfassers.
Reviewer: R.Kühnau (Halle)

MSC:

30C62 Quasiconformal mappings in the complex plane
30E25 Boundary value problems in the complex plane
31A05 Harmonic, subharmonic, superharmonic functions in two dimensions
30C40 Kernel functions in one complex variable and applications
30E20 Integration, integrals of Cauchy type, integral representations of analytic functions in the complex plane
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