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Entire functions, in the classification of differentiable germs tangent to the identity, in one or two variables. (English) Zbl 0815.30018

Cet article réunit des résultats connus et d’autres nouveaux, dont la plupart approfondissent l’étude d’exemples précis; en voici quelques- uns. Dans le cas où la donnée \(f\) est un \({\mathcal C}^ \infty\)- difféomorphisme de \((\mathbb{R},0)\) [i.e. \(f(0)= 0\)] tangent en 0 à l’identité, on donne une nouvelle preuve, suivant les méthodes employées dans le reste du travail, d’un théorème de F. Takens [Ann. Inst. Fourier 23, No. 2, 163-195 (1973; Zbl 0266.34046)]; il existe un autre \({\mathcal C}^ \infty\)-difféomorphisme \(\varphi\) de \((\mathbb{R},0)\) tel que \(\varphi^{-1}\circ f\circ \varphi(x)= x+ \delta x^ p+ \alpha x^{2p-1}\) au voisinage de 0. Egalement selon Takens, il existe un unique \({\mathcal C}^ \infty\)-difféomorphisme [alors qu’il y a une infinité d’homéomorphismes] \(\varphi\) de \((\mathbb{R},0)\) tel[s] que \(\varphi\circ \varphi(x)= x+ x^ 2\) au voisinage de 0. On montre ici que, par contre, il n’existe aucun \({\mathcal C}^ 6\)-difféomorphisme de \((\mathbb{R}^ 2,0)\) dont un itéré soit, au voisinage de 0, \((x,y)\mapsto (x+ x^ 2- y^ 2, y+2xy)\), plus commodément écrit \(z\mapsto z^ 2\). Dans le cas “holomorphe” où \(f\) est une fonction entière tangente en 0 à l’identité, il n’existe aucune \(\varphi\) holomorphe sur un voisinage de 0 telle que \(\varphi(0)= 0\neq \varphi'(0)\) et \(\varphi^{-1} \circ f\circ \varphi(z)= z/(1- z)\). D’autres résultats, liés aux précédents, concernent le flot intégral d’un champ de vecteurs assez régulier, nul en 0: si ce flot partant de \(z\) est, à un instant \(t\) fixé, de la forme \(f(z)\) entière (resp.: méromorphe sur \(\mathbb{C}\)) et tangente en 0 à l’identité, alors \(f(z)\equiv z\) (resp.: \(z/(1- \alpha z)\) pour un \(\alpha\in \mathbb{C}\)).
Reviewer: M.Hervé (Paris)

MSC:

30D05 Functional equations in the complex plane, iteration and composition of analytic functions of one complex variable
34M05 Entire and meromorphic solutions to ordinary differential equations in the complex domain

Citations:

Zbl 0266.34046
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