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Structure equations for vector valued martingales. (Équations de structure pour des martingales vectorielles.) (French) Zbl 0814.60040

Azéma, Jacques (ed.) et al., Séminaire de Probabilités XXVIII. Berlin: Springer-Verlag. Lect. Notes Math. 1583, 256-278 (1994).
Les équations de structure s’introduisent de façon naturelle en théorie des probabilités quantiques lorsque l’on cherche si les martingales vectorielles \(X\) vérifiant \(\langle X^ i, X^ j \rangle_ t = \delta^{ij}t\) (on les appelle martingales normales) possèdent la propriété de représentation chaotique. La covariation quadratique \([X^ i, X^ j]\) possède alors une représentation prévisible sous la forme d’un tenseur \(\Phi_ k^{ij}\), et l’objet de cet article est l’étude de la structure algébrique de ce système de coefficients. En particulier il est montré que les relations de symétrie qu’ils vérifient signifient qu’ils forment un tenseur diagonalisable dans une base orthonormée. Le cas des martingales discrètes est ensuite envisagé; on définit dans ce cadre les martingales normales, les équations de structure et on étudie les propriétés algébriques des tenseurs figurant dans ces équations; ici, les trois propriétés de représentation prévisible et d’existence d’équations de structure sont équivalentes.
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MSC:

60G44 Martingales with continuous parameter
60H10 Stochastic ordinary differential equations (aspects of stochastic analysis)
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Full Text: Numdam EuDML