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Remarks on solutions of \(-\Delta u = (1-| u|^ 2)u\) in \(\mathbb{R}^ 2\). (English. Abridged French version) Zbl 0806.35030

Il s’agit des solutions \(u\) telles que (1) \(\int_{\mathbb{R}^ 2} (1 - | u |^ 2)^ 2 < \infty\), parmi lesquelles on connaît des solutions de la forme \(u(r, \theta) = e^{i (d \theta + \theta_ 0)} f_ d (r)\), où \(\theta_ 0 \in \mathbb{R}\), \(d \in \mathbb{Z} \backslash \{0\}\) et \(f_ d(r)\) croît de 0 à 1 quand \(r\) croît de 0 à \(+ \infty\); mais on ignore s’il \(y\) en a d’autres, d’où l’intérêt du résultat principal de l’auteur: pour toute solution \(u\) vérifiant (1), il existe \(\theta_ 0 \in \mathbb{R}\) et \(d \in \mathbb{Z}\) tels que \(u(r,\theta) - e^{i(d \theta + \theta_ 0)} \to 0\) quand \(r \to + \infty\), avec de plus \(1 - | u |^ 2 = (d^ 2/r^ 2) + o(1/r^ 2)\) et des estimations analogues concernant \(\nabla u\). En rapport avec les travaux récents sur les minimiseurs de l’intégrale \(I_ \Omega(u) = \int_ \Omega [| \nabla u |^ 2 + 1/2(1 - | u |^ 2)^ 2]\), il montre aussi que, si une solution non constante \(u\) sur \(\mathbb{R}^ 2\) vérifie \(I_ \Omega (u) \leq I_ \Omega (v)\) pour tout ouvert borné \(\Omega\) et toute \(v \in H^ 1(\Omega)\) de même trace que \(u\) sur \(\partial \Omega\), alors \(u\) a un zéro unique, de degré \(\pm 1\).

MSC:

35J60 Nonlinear elliptic equations
35B40 Asymptotic behavior of solutions to PDEs
35J20 Variational methods for second-order elliptic equations
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