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A relation between integral points on algebraic curves and rational points of the Jacobian. (Une relation entre les points entiers sur une courbe algébrique et les points rationnels de la Jacobienne.) (French) Zbl 0805.14009

Gouvêa, Fernando Q. (ed.) et al., Advances in number theory. The proceedings of the third conference of the Canadian Number Theory Association, held at Queen’s University, Kingston, Canada, August 18-24, 1991. Oxford: Clarendon Press. 421-433 (1993).
Les formes linéaires de logarithmes sur les groupes algébriques commutatifs permettent de minorer la distance entre deux points du groupe de Mordell-Weil d’une variété abélienne, définie sur un corps de nombres \(K\), en fonction de leurs hauteurs et d’invariants d’un plongement projectif de la variété abélienne et de son groupe de Mordell-Weil.
Lorsque la variété abélienne est la jacobienne \(J\) d’une courbe algébrique \({\mathcal C}\) complète, non singulière, de genre \(g \geq 1\) sur laquelle on fixe un diviseur à l’infini, la hauteur d’un point \(P \in {\mathcal C} (K)\) s’exprime par les distances locales de \(P\) au diviseur à l’infini. Combinant avec la minoration précédemment citée aux places de \(K\) à l’infini, cela conduit à une majoration de la hauteur de \(P\) en fonction de son dénominateur \(\delta_ K (P)\). Ce schéma est dû à S. Lang et la méthode a été développée par divers auteurs [A. Baker et J. Coates \((g=1)\), D. Masser, D. Bertrand,...].
Utilisant sa excellente minoration de formes linéaires de logarithmes [Invent. Math. 104, No. 2, 401-433 (1991; Zbl 0704.11016)], l’auteur obtient \(h(P) < c (\log \delta_ K (P)+ 1)\) où \(c\) dépend d’un plongement projective et d’une normalisation de l’exponentielle de \(J\dots\) et du choix d’une base du groupe de Mordell-Weil de J. Lorsque la jacobienne est simple, l’auteur obtient dans un autre travail une minoration plus précise et lorsque \(g=1\) l’estimation peut être totalement explicitée grâce à un travail de S. David sur les formes linéaires de logarithmes elliptiques.
For the entire collection see [Zbl 0773.00021].

MSC:

14G05 Rational points
14K15 Arithmetic ground fields for abelian varieties
11J86 Linear forms in logarithms; Baker’s method
11G30 Curves of arbitrary genus or genus \(\ne 1\) over global fields
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