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Examples of applications of the \(G\)-transformation of analytic functionals. (Exemples d’applications de la transformation \(G\) des fonctionnelles analytiques.) (French) Zbl 0781.32004

Ist \(f\) eine ganze Funktion vom Exponentialtypus \(\tau<1\), so läßt sich \(f\) in eine “Abelsche Interpolationsreihe” entwickeln d.h., es gilt: \[ f(z)=\sum^ \infty_{n=0}{f^{(n)}(n) \over n!}u_ n(z),\;u_ n(z)= \begin{cases} 1 & \text{ für } n=0 \\ z(z-n)^{n-1} & \text{ für } n>0. \end{cases} \] Eine unmittelbare Folgerung ist, daß \(f\) durch die Werte \(f^{(n)}(n)\) bestimmt ist. Hier werden diese Sätze auf ganze Funktionen mehrerer Veränderlicher ausgedehnt. Wesentliches Hilfsmittel ist eine Erweiterung der Laplace-Borel Transformation. Diese wird ebenfalls zur Darstellung spezieller Funktionen (z.B. der Besselfunktionen \(f_ n(t)\), der Hermitepolynome \(H_ n(t))\) als Koeffizienten gewisser Abelscher Reihen benutzt.

MSC:

32A15 Entire functions of several complex variables
32A30 Other generalizations of function theory of one complex variable
30B50 Dirichlet series, exponential series and other series in one complex variable
33C60 Hypergeometric integrals and functions defined by them (\(E\), \(G\), \(H\) and \(I\) functions)
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