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Harmonic analysis and unitary group representations: The development from 1927 to 1950. (English) Zbl 0759.22003

Cah. Sémin. Hist. Math., 2. Sér. 2, 13-42 (1992).
Der Autor behandelt die Entwicklung der unitären Darstellungstheorie, ausgehend von den Untersuchungen Hermann Weyl’s im Jahr 1927 bis etwa 1950. Das Peter-Weyl-Theorem einerseits sowie die Anfangsgründe der kommutativen harmonischen Analysis andererseits bilden zwar den Ausgangspunkt für diesen historischen Überblick; das Hauptaugenmerk des Autors gilt jedoch der Entwicklung der Darstellungstheorie nicht- kompakter (und nicht-kommutativer) topologischer Gruppen und damit dem Fall unendlich-dimensionaler irreduzibler Darstellungen. Die bemerkenswerten neuen Phänomene beim Übergang zum nicht-kompakten Fall sind neben dem Auftreten unendlich-dimensionaler irreduzibler Darstellungen die Notwendigkeit, bei der Zerlegung von Darstellungen in irreduzible Komponenten direkte Summen durch direkte Integrale zu ersetzen, sowie der Umstand, daß die irreduziblen Darstellungen für eine Klassifizierung aller unitären Darstellungen nicht mehr ausreichen. Bei letzterem Punkt kommt die Theorie der von Neumann Algebren und die Klassifizierung der Faktoren in die Typen I, II, III durch Murray und von Neumann ins Spiel.
Ausführliche Erwähnung beim historischen Rückblick auf die systematische Untersuchung der Darstellungstheorie nicht-kompakter Gruppen finden unter anderem die Arbeiten von Gelfand und Neumark, Bargmann, Harish-Chandra, Segal und Godement sowie das Werk des Autors selbst. Der Artikel endet mit einem kurzen Ausblick auf die Zeit nach 1950; hier wird vor allem auf das Werk Harish-Chandra’s Bezug genommen.

MSC:

22-03 History of topological groups
01A60 History of mathematics in the 20th century
43A65 Representations of groups, semigroups, etc. (aspects of abstract harmonic analysis)
22D10 Unitary representations of locally compact groups
43-03 History of abstract harmonic analysis
46L35 Classifications of \(C^*\)-algebras
Full Text: EuDML