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Zbl 0758.11024
Kulkarni, Ravi S.
An arithmetic-geometric method in the study of the subgroups of the modular group. (English)
[J] Am. J. Math. 113, No. 6, 1053-1133 (1991). ISSN 0002-9327; ISSN 1080-6377/e

Eine Untergruppe $U$ von endlichem Index in der Modulgruppe $\Gamma=\text{PSL}(2,\Bbb Z)$ hat als Fundamentalbereich $F$ ein nichteuklidisches Polygon, das aus $[\Gamma:U]$ Dreiecken besteht, die zum Standardfundamentalbereich (in der Regel das Dreieck mit den Ecken $\rho={1\over 2}+{i\over 2} \sqrt{3},\infty,-\bar\rho)$ kongruent sind. Für jeden solchen Fundamentalbereich bilden die Transformationen aus $U$, die $F$ auf einen Nachbarbereich abbilden (d.h., die eine Seite von $F$ wieder auf eine Seite von $F$ abbilden) ein Erzeugendensystem von $U$, das natürlich von der Auswahl von $F$ abhängt. Verf. präsentiert eine neue interessante Methode zur Gestaltung von $F$.\par Er zeigt, dass $F$ immer in Form eines von ihm als ``spezielles Polygon'' bezeichneten Bereiches gewählt werden kann (und umgekehrt, dass jedes ``spezielle Polygon'', bei dessen Definition auch die Seitenzuordnungen festgelegt werden, Fundamentalbereich einer Untergruppe von $\Gamma$ ist) und dass das zugehörige Erzeugendensystem ein freies Erzeugendensystem von $U$ ist, d.h., $U$ ist freies Produkt der von diesen Erzeugenden erzeugten zyklischen Untergruppen (als Ordnungen der Erzeugenden können $2, 3, \infty$ auftreten). Als Standardfundamentalbereich von $\Gamma$ fungiert das Dreieck mit den Ecken $\rho$, $\infty$, 0 (die Nachbartransformationen sind $T: z\mapsto -1/2$, die die Seite $(\infty,0)$ auf sich abbildet und $S:(z-\rho)/(z- \bar\rho)\mapsto e\sp{2\pi i/3}(z-\rho)/(z-\bar\rho)$, die $(\rho,\infty)$ auf $(\rho,0)$ abbildet, woraus $\Gamma=\langle S\rangle * \langle T\rangle$ folgt).\par Ein spezielles Polygon ist ein konvexes Polygon endlichen nichteuklidischen Inhalts mit einer Einteilung der Seiten in Paare, das nur Seiten kongruent $\mod\Gamma$ zu $(\infty,0)$ (die paarweise aufeinander bezogen sind, wobei als Ausartung eine derartige Seite auf sich selbst bezogen sein kann) und Seitenpaare kongruent $\mod\Gamma$ zu dem Paar $(\rho,\infty)$, $(\rho,0)$ hat, und das ausserdem $0,\infty$ als Eckpunkte besitzt. Die Spitzen eines speziellen Polygons $P$, d.h., die Eckpunkte auf $\Bbb R\cup\{\infty\}$, bilden eine Folge $\infty$, $x\sb 0<x\sb 1<\dots<x\sb n$, $\infty$ mit $x\sb 0,x\sb n\in\Bbb Z$, die den Punkt 0 enthält und für die ausserdem $\vert a\sb i b\sb{i+1}- a\sb{i+1} b\sb i\vert=1$ (bei $x\sb i=a\sb i/b\sb i$ als gekürzter Bruch) gilt. Verf. bezeichnet eine derartige Folge als verallgemeinerte Farey-Folge. $P$ liefert ausserdem eine Markierung der Intervalle $(x\sb i,x\sb{i+1})$, bei der $(x\sb i,x\sb{i+1})$ als ungerades Intervall bezeichnet wird, wenn $x\sb i,x\sb{i+1}$ die $0,\infty$ entsprechenden Eckpunkte eines $\mod\Gamma$ zu $(\rho,\infty)$, $(\rho,0)$ kongruenten Seitenpaares sind, als gerades Intervall, wenn die Seite $(x\sb i,x\sb{i+1})$ zu $(\infty,0)\mod\Gamma$ kongruent ist und sich selbst zugeordnet ist, und die restlichen Intervalle zu Paaren entsprechend der Seitenzuordnung bei $P$ zusammengefasst sind. Eine verallgemeinerte Farey-Folge mit einer solchen Markierung bezeichnet der Verf. als Farey-Symbol. Er zeigt, dass umgekehrt jedes Farey-Symbol ein ``spezielles Polygon'' und damit eine Untergruppe von $\Gamma$ mit einem freien Erzeugendensystem liefert. Verf. stellt weiter Beziehungen zu einem Baumdiagramm sowie speziellen Graphen und zu Kettenbrüchen her und bringt Anwendungen und explizite Beispiele.
[Karl-Bernhard Gundlach (Marburg)]

MSC 2000:: *11F06 Structure of modular groups and generalizations
11B57 Farey sequences
20F05 Presentations of groups

Keywords: modular group; fundamental domain; special polygon; convex polygon; generalized Farey sequence; Farey symbol; subgroups with free system of generators

Cited in: Zbl 1209.16030 Zbl 1204.11075 Zbl 0831.20065 Zbl 0838.11026

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	Scientific prize winners of the ICM 2010
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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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