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Stochastic calculus with jumps on a variety. (Calcul stochastique avec sauts sur une variété.) (French) Zbl 0749.60043

Séminaire de probabilités, Lect. Notes Math. 1485, 196-219 (1991).
[For the entire collection see Zbl 0733.00018.]
Jusqu’à présent l’étude des semi-martingales à valeurs dans une variété s’est principalement bornée au cas des semi-martingales continues. Modulo une hypothèse de nature géométrique sur la variété (l’existence d’un connexion affine) on généralise le principal résultat relatif aux semi-martingales à valeurs dans un espace euclidien: une semi-martingale se décompose en la somme d’un processus à variation finie et d’une martingale locale. C’est pour définir la notion de martingale que l’on a besoin d’une hypothèse de nature géométrique.
L’auteur examine le cas des processus avec sauts (et aussi des processus discrets qui peuvent être considérer comme des processus avec sauts). L’idée fondamentale est qu’au lieu de considérer un processus à valeurs dans la variété \(\gamma\), on considère un processus \((\Delta X_ t,X_ t)\) où \(\Delta X_ t\) est un vecteur dans l’espace tangent à \(X_ t\), qui représente le saut de \(X_ t\) à l’instant \(t\). L’outil qui permettra de définir \(\Delta X_ t\) à partir de \(X_ t\) et \(X_{t-}\) est un objet géométrique (défini par l’auteur): la notion de connecteur. Grâce à celà on peut définir une intégrale stochastique, une martingale et on a une formule d’Itô.

MSC:

60G48 Generalizations of martingales
60H99 Stochastic analysis
58J65 Diffusion processes and stochastic analysis on manifolds

Citations:

Zbl 0733.00018
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Full Text: Numdam EuDML