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Algebraic independence of values of analytic functions. (English) Zbl 0743.11035

Proc. Int. Congr. Math., Kyoto/Japan 1990, Vol. I, 447-457 (1991).
[For the entire collection see Zbl 0741.00019.]
Ce texte présente les résultats récents (antérieurs à 1990) liés à l’indépendance algébrique de valeurs de fonctions analytiques (résultats qualitatifs et quantitatifs). Ces divers résultats ont un lien mathématique profond: leurs démonstrations utilisent toutes des outils d’algèbre commutative (notamment la théorie de l’élimination) introduits par l’auteur il y a une quinzaine d’années, puis développés dans différentes directions (travaux de W. D. Brownawell, D. W. Masser, Y. Nesterenko, P. Philippon, G. Wüstholz,…). Sont successivement évoqués des résultats sur les \(E\)-fonctions (travaux de A. B. Shidlovskij,…), sur les fonctions dites “de Mahler” (travaux de P. G. Becker, K. Nishioka,…), sur les valeurs de la fonction exponentielle et le problème de Gel’fond (travaux de P. Philippon, G. Diaz,…), sur les valeurs des fonctions elliptiques et l’analogue du théorème de Lindemann-Weierstrass (travaux de P. Philippon, G. Wüstholz, Y. Nesterenko,…). Le dernier paragraphe évoque brièvement les outils algébriques mis en œuvre. L’abondante bibliographie permettra au lecteur curieux d’approfondir le sujet.

MSC:

11J85 Algebraic independence; Gel’fond’s method
11J89 Transcendence theory of elliptic and abelian functions
11J91 Transcendence theory of other special functions
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory

Citations:

Zbl 0741.00019
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