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The set of intervals of a reflexive binary multirelation. (L’ensemble des intervalles d’une multirelation binaire et reflexive.) (French) Zbl 0742.04002

La notion d’intervalle en théorie des relations a été introduite par R. Fraïssé [Ann. Discrete Math. 23, 313-341 (1984; Zbl 0574.04001)]. Si \(I\) est l’ensemble des intervalles d’une multirelation binaire et réflexive de base \(E\) alors \(I\) vérifie certaines propriétés. Par exemple, \(I\) contient l’ensemble vide, la base \(E\) et les singletons de \(E\); l’intersection de deux éléments de \(I\) appartient á \(I\); etc …L’objet de cet article est alors d’étudier le problème suivant, suggéré par Pouzet: si \(I\) est une famille de parties d’un ensemble \(E\) qui vérifie les propriétés évoquées ci-dessus, mais sans structure relationnelle sous-jacente, alors existe-t-il une multirelation binaire et réflexive de base \(E\) dont l’ensemble des intervalles est \(I\)? De même que M. Habib [Substitution des structures combinatoires, théorie et algorithmes, Diss., Paris (1981)], nous utiliserons le treillis des partitions de \(E\) contenues dans \(I\) afin de caractériser les éléments de \(I\) et de montrer que \(I\) est l’ensemble des intervalles d’une birelation binaire et réflexive.

MSC:

03E20 Other classical set theory (including functions, relations, and set algebra)

Citations:

Zbl 0574.04001
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