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Codimension 2 torus actions on affine \(n\)-space. (English) Zbl 0725.14036

Group actions and invariant theory, Proc. Conf., Montreal/Can. 1988, CMS Conf. Proc. 10, 103-110 (1989).
[For the entire collection see Zbl 0679.00007.]
Le résultat principal des AA. est le suivant: “Soit \(X=\mathrm{spec}(A)\) une variété affine de dimension \(n\) sur \({\mathbb{C}}\); supposons que: (i) \(X\) est lisse, acyclique (i.e. les nombres de Betti \(b_ i(X)\) de \(X\) sont nuls pour \(i>0)\), dominé par \({\mathbb{A}}^{\nu}\) pour un certain \(\nu\), \(A\) étant factoriel; (ii) \(G=G_ m^{n-2}\) agit effectivement sur \(X\) avec \(\dim (X^ G)\geq 1\).
Alors \(X\) est isomorphiquement equivariant à \({\mathbb{A}}^ n\) et l’action de \(G\) sur \(X\) est linéaire (on dira aussi que l’action de \(G\) sur \(X\) est linéarisable)”.
Une conséquence du résultat précédent est: “Soit \(k\) un corps de caracteristique \(0\). Supposons que \(G=G_ m^{n-2}\) agisse effectivement sur \(X={\mathbb{A}}^ n\), l’action étant définie sur \(k\). Si \(\dim (X^ G)\geq 1\), alors l’action de \(G\) sur \(X\) est linéarisable”. Auparavant Białynicki-Birula avaient déjà ètabli la linearisation de l’action de \(G_ m^{n-1}\) sur \({\mathbb{A}}^ n\).
Reviewer: J.C.Douai (Lille)

MSC:

14L24 Geometric invariant theory
14L30 Group actions on varieties or schemes (quotients)

Citations:

Zbl 0679.00007