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Eisenstein’s problem and continued fractions. (English) Zbl 0718.11010

Sei \(D\in {\mathbb N}\) quadratfrei, \(D\equiv 5 mod 8\). Der Autor benutzt die Kettenbruchentwicklungen von \(\sqrt{D}\) und \((1+\sqrt{D})/2\) zur Herleitung eines neuen Kriteriums für die Existenz ungerader ganzzahliger Lösungen \((x,y)\) der Gleichung \(x^ 2-Dy^ 2=4.\) Ist die Diophantische Gleichung \(u^ 2-Dv^ 2=-1\) lösbar, so erhält man ein solches Kriterium bereits durch den Vergleich der Längen \(\ell (\sqrt{D})\) und \(\ell ((1+\sqrt{D})/2)\) der primitiven Perioden modulo 4 [P. Kaplan and K. S. Williams, J. Number Theory 23, 169–182 (1986; Zbl 0596.10013)]; im Falle der Unlösbarkeit von \(u^ 2-Dv^ 2=-1\) ist dagegen stets \(\ell (\sqrt{D})\equiv \ell ((1+\sqrt{D})/2)\quad mod 4\) [the reviewer, Arch. Math. 49, 29–37 (1987; Zbl 0631.10008)].

MSC:

11D09 Quadratic and bilinear Diophantine equations
11R11 Quadratic extensions
11A55 Continued fractions
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