Blass, Josef; Glass, A. M. W.; Manski, David K.; Meronk, David B.; Steiner, Ray P. Constants for lower bounds for linear forms in the logarithms of algebraic numbers. I: The general case. II: The homogeneous case. (English) Zbl 0709.11037 Acta Arith. 55, No. 1, 1-14, 15-22 (1990). Soient \(\alpha_ i(i=1,...,n)\) des nombres algébriques non nuls de hauteurs (logarithmiques, absolues) \(\leq V_ i\) respectivement, soient encore \(\beta_ 0,...,\beta_ n\) des nombres algébriques de hauteurs \(\leq W\), on note \(D=[{\mathbb{Q}}(\alpha_ 1,...,\beta_ n):{\mathbb{Q}}].\) On suppose de plus \(| \log \alpha_ i| \leq DV_ i\) \((i=1,...,n)\) et \(1/D\leq V_ 1\leq...\leq V_ n\) et on choisit \(1<E\leq \min \{e^{DV_ 1/n};\quad eDV_ i/| \log \alpha_ i|,\quad i=1,...,n\}.\) Alors la forme linéaire \(\Lambda =\beta_ 0+\beta_ 1 \log \alpha_ 1+...+\beta_ n \log \alpha_ n\) est nulle ou vérifie: \[ \log | \Lambda | >-C(n)\cdot D^{n+2}\cdot V_ 1...V_ n\cdot (W+\log (EDV))\cdot \log (ED)/(\log E)^{n+1}, \] avec \(V=\max \{1;V_ 1;...;V_ n\}\) et où on peut prendre \(C(n)\leq n^{2n}\cdot 2^{8n+51}.\) Dans cette paire de textes les auteurs évaluent la constante C(n) de façon beaucoup plus précise. Le premier texte traite le cas général ci-dessus, tandis que le second s’attache au cas rationnel homogène \((\beta_ 0=0,\beta_ 1,...,\beta_ n\in {\mathbb{Z}})\). Pour obtenir des résultats aussi fins que possible (i.e. \(C(n)\leq n^{2n}\cdot (24e)^ n\cdot 2^{21}\) dans le cas général et \(C(n)\leq n^{n+1}\cdot (24e^ 3)^ n\cdot 2^{21}\) dans le cas rationnel homogène) les auteurs répartissent la dépendance en n entre les termes C(n), log(EDV), log(ED) et log E de la minoration ci- dessus, ceci entraîne une inflation de notations rendant les textes très techniques. A noter à ce propos que les démonstrations ne peuvent se vérifier (ni lire) sans avoir sous la main le texte de M. Waldschmidt [W]: Acta Arith. 37, 257-283 (1980; Zbl 0357.10017) et éventuellement son extension [PW]: dans “New advances in transcendence theory” Proc. Symp., Durham 1986, 280-312 (1988; Zbl 0659.10037). Dans un travail ultérieur les auteurs montrent comment les améliorations numériques substentielles qu’ils apportent permettent de résoudre complètement les équations de Thue de petits degrés et coefficients entiers (avec l’aide d’un ordinateur...). Reviewer: P.Philippon Cited in 1 ReviewCited in 12 Documents MSC: 11J86 Linear forms in logarithms; Baker’s method 11J25 Diophantine inequalities Keywords:lower bound; linear forms in logarithms of algebraic numbers with algebraic coefficients Citations:Zbl 0439.10020; Zbl 0357.10017; Zbl 0659.10037 PDFBibTeX XMLCite \textit{J. Blass} et al., Acta Arith. 55, No. 1, 1--14, 15--22 (1990; Zbl 0709.11037) Full Text: DOI EuDML