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Quelques remarques sur le problème de Lagrange du calcul des variations. (Some remarks on the problem of Lagrange in the calculus of variations.). (French) Zbl 0703.49002

Dans cette note on présente certaines remarques concernant le problème de Lagrange du calcul des variations pour une fonctionnelle \[ I(y)=\int^{x_ 2}_{x_ 1}L(x,y(x),y'(x))dx, \] où \(L(\cdot,y(\cdot),y'(\cdot))\) n’est pas nécessairement défini pour \(x=x_ 1,x_ 2\) (si y est une fonction admissible); on montre que si L est de classe \(C^ 1\) sur son domaine, et si L(x,\(\cdot,\cdot)\) est convexe, alors l’équation d’Euler-Lagrange est une condition nécessaire pour qu’une fonction absolument continue \(\hat y\) minimise I, qui est suffisante si (\(\partial L/\partial y)(\cdot,\hat y(\cdot),\hat y'(\cdot))\) est sommable sur \([x_ 1,x_ 2]\). On donne deux exemples d’application de ce résultat, dont le problème du brachistochrone, qui est ainsi résolu de fącon très simple.

MSC:

49J05 Existence theories for free problems in one independent variable
49K05 Optimality conditions for free problems in one independent variable
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