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Mémoire sur le problème des trois corps. (French) JFM 07.0567.02

Legt man im Problem der drei Körper den Anfangspunkt der Coordinaten in den Schwerpunkt der drei Gestirne oder eines von ihnen, so kann man ohne Schwierigkeit ein Differentialsystem zwölfter Ordnung aufstellen, welches durch vier Integrale auf die achte Ordnung erniedrigt wird. Man kann dann die Zahl und die Schwierigkeit der ersten Integrationen wesentlich verringern durch Zerlegung der Differentialgleichungen der Bewegung in Systeme von niederer Ordnung, die mit einander zusammenhängen. Lagrange (essai sur le problème des trois corps 1772) und Jacobi (Elimination des noeuds 1842) haben das Problem auf die siebente Ordnung und eine Quadratur erniedrigt. Da die dabei auftretenden Gleichungen die Zeit nur im Differentialquotienten enthalten, so können sie durch Elimination derselben in Form einer Quadratur noch auf die sechste Ordnung erniedrigt werden. Im ersten Theil der vorliegenden Arbeit dehnt nun der Verfasser diese Reduction auf eine Anzahl von \(n+1\) Körpern aus, die ihren gegenseitigen Anziehungen unterworfen sind. Die Ordnung \(6n\) der Bewegungsgleicchungen kann immer um sechs Einheiten erniedrigt werden, d. h. also um zwei Einheiten mehr, als die vier Integrale der Flächen und der lebendigen Kräfte ergeben. Im zweiten Theil werden dieselben Gleichungen mit einer andern partiellen Differentialgleichung mit \(3n\) unabhängigen Variabeln verbunden und dann zwei der Derivirten mit Hülfe von zwei Integralen eliminirt, welche in Gleichungen mit partiellen Derivirten transformirt sind und mit der ersten vereinbar sind. Das Problem wird so zurückgeführt auf die Integration eines Systems mit gewöhnlichen Derivirten von der Ordnung \(6(n-1)\), und zwar ohne dass man dabei specieller Variabeln oder besonderer Coordinatenebenen bedarf. Integrale dieses letzten Systems werden dann im Verein mit dem vierten Integrale die characteristische Function bestimmen, mit deren Hülfe sich die Lösung endlich durch einfache Differentialtion vollenden würde. Wendet man diese Methode auf das Problem der drei Körper an, so würde sie nur ein oder zwei Integrale eines canonischen Systems sechster Ordnung erfordern. Im dritten Theil werden successive zwei und drei Constanten der Flächenintegrale zu Null gemacht und gezeigt, dass diese Gleichungen mit der Fundamentalgleichung vereinbar sind und eine singuläre Lösung mit drei willkürlichen Constanten zulassen, welche aus der Integration eines Differentialsystems der vierten Ordnung hergeleitet werden kann.

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Full Text: Gallica