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Sumsets containing long arithmetic progressions and powers of 2. (English) Zbl 0693.10040

Sei \(A\subset \mathbb{N}_0\) und \(\vert A\vert\) die Elementeanzahl von \(A\). Wie üblich bedeutet \(A(n)= \vert A\cap \{1,2,\ldots,n\}\vert \) die Anzahlfunktion der Menge \(A\). Weiter ist die Menge
\[ hA=\{n\in\mathbb{N}_0\mid n=a_1+a_2+\ldots+a_h;\ a_i\in A,\ (i=1,2,\ldots,h)\}\]
(dabei sind gleiche Summanden zugelassen).
Als charakteristische Resultate der Arbeit seien die folgenden Sätze genannt:
Theorem 1: Seien \(N\) und \(k\in\mathbb{N}\) und \(A\subseteq \{1,2,\ldots,N\}\) mit \(\vert A\vert \ge N/k+1\). Dann gibt es ein \(d\in\mathbb{N}\) mit \(d\le k-1\), so daß für beliebige \(h\) und \(z\in\mathbb{N}\) mit \(N/h+zd\le \vert A\vert \) die Menge \((2h)A\) eine arithmetische Progression mit \(z\) Gliedern und der Differenz \(d\) enthält.
Theorem 5: Sei \(n>2^73^3=3456\) und \(A\subseteq \{1,2,\ldots,3n\}\) mit \(\vert A\vert \ge n+1\). Dann gibt es eine Potenz von 2, die als Summe von höchstens 3504 Elementen von \(A\) darstellbar ist.
Theorem 6: Sei \(n\) genügend groß. Für \(A\subseteq \{1,2,\ldots,3n\}\) mit \(\vert A\vert \ge n+1\) gibt es eine Potenz von 2, die als Summe von höchstens 30961 verschiedenen Elementen von \(A\) darstellbar ist.
Zum Beweis von Theorem 1 wird der Satz von Dyson (als Verallgemeinerung des Mannschen Satzes) benutzt.

MSC:

11B13 Additive bases, including sumsets
11B25 Arithmetic progressions
11P99 Additive number theory; partitions
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Full Text: DOI EuDML