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Das lineare Stokes-System in \(R^ 3\). I: Vorlesungen über das Innenraumproblem. (The linear Stokes-system in \(R^ 3\). I: Lectures on the interior domain problem). (German) Zbl 0667.35059

Bayreuther Mathematische Schriften 27, 252 p. (1988).
Die Theorie des Systems der Navier-Stokes-Gleichungen beansprucht aufgrund zahlreicher Anwendungen wichtiger Probleme die Aufmerksamkeit von Physikern als auch von Mathematikern.
Das vorliegende Werk, das durch Weiterentwicklung von Vorlesungen der Verf. entstanden ist, beschäftigt sich mit den Randwertproblemen des Stokes-Systems und ist wie folgt gegliedert:
Nach einer Darstellung der wichtigsten Begriffe wird im I. Paragraph ein Überblick über lineare Stokes-Systeme in \({\mathbb{R}}^ 3\) geliefert. Insbesondere wird mit Hilfe der Theorie von Sobolev-Räumen, unter Verwendung des Satzes von Calderón-Zygmund, der Hardy Littlewood- Sobolev-Ungleichung und der Ungleichung von Hölder-Korn-Lichtenstein- Giraud, ein Existenzbeweis für Lösungen des Systems angegeben. Im 2. Paragraph werden einige Ergebnisse dargestellt, welche die Beschreibung des Randes einer glatt berandeten, offenen Teilmenge des \({\mathbb{R}}^ n\) betreffen. Im Paragraph 3 gelingt es eine Darstellungsformel für Lösungen des Stokes-Systems über einem glatt \((C^ 2-)\) berandeten beschränkten Gebiet anzugeben. Im Paragraph 4 werden Randpotentiale und Sprungrelation dargestellt. Paragraph 5 ist der Beschreibung eines kompakten Operators auf \(L_ p(\partial \Omega)^ 3\) gewidmet. Im Paragraph 6 wird das homogene, lineare Stokes-Problem im Innen- und Außenraum behandelt. Im letzten Paragraphen werden einige Abschätzungen in \(W^{2,p}(\Omega)\) und Ergebnisse aus \(L_ p\)- Theorie des Laplace-Operators zusammengestellt, die dann Herleitung einiger Existenzaussagen ermöglichen.
Reviewer: M.L.Mehra

MSC:

35Q30 Navier-Stokes equations
35B45 A priori estimates in context of PDEs
35Q99 Partial differential equations of mathematical physics and other areas of application
76D05 Navier-Stokes equations for incompressible viscous fluids
35A05 General existence and uniqueness theorems (PDE) (MSC2000)
35C15 Integral representations of solutions to PDEs
35B65 Smoothness and regularity of solutions to PDEs
35J40 Boundary value problems for higher-order elliptic equations