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j-partitions for visible shorelines. (English) Zbl 0662.52004

Soit C un compact de \({\mathbb{R}}^ d\) et soit \(S\supset {\mathbb{R}}^ d\sim C\). On dit que S admet une j-partition relativement à C s’il existe j points \(c_ 1,...,c_ j\), non nécessairement distincts, tels que pour chaque \(x\in S\), il existe au moins un i, \(1\leq i\leq j\), tels que \([x,c_ i]\cap C=\{c_ i\}\). Lorsque C est un polygone convexe de \({\mathbb{R}}^ 2\), l’auteur répond à la question de l’existence d’une j- partition de S en établissant un théorème du type de Helly (le nombre de Helly portant sur les cardinaux des parties finis de S). Par contre, pour un disque, il n’y a pas de nombre de Helly.
Ce travail, bien illustré par plusieurs exemples, a été motivé par un travail de F. A. Valentine étudiant le cas \(j=1\).
Reviewer: J.C.Dupin

MSC:

52A30 Variants of convex sets (star-shaped, (\(m, n\))-convex, etc.)
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References:

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