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Bounded Reinhardt domains in Banach spaces. (English) Zbl 0661.32005

Soient \(E\) un espace de Banach et une décomposition en sous-espaces \(E_ n\) de dimension finie telle que tout \(x\) de \(E\) s’écrive de façon unique \(\sum x_ n\) avec \(x_ n\in E_ n\). Dans cet article les auteurs étudient les domaines de Reinhardt bornés relatifs à une telle décomposition (c’est-à-dire les ouverts bornés \(D\) de \(E\) qui contiennent \(0\) et sont invariants par la multiplication par les complexes de module 1 agissant sur \(E\) ou sur l’un des \(E_ n)\) en relation avec l’orbite \(G(0)\) de \(0\) sous l’action du groupe \(G\) des biholomorphismes de \(D\). Le cas \(E={\mathbb{C}}^ 2\) est le cas classique étudié par P. Thullen [Math. Ann. 104, 244–259 (1931; Zbl 0001.02303)].
Tout d’abord on s’intéresse au cas des espaces symétriques, \(D\) est alors la boule unité de \(E\) et est homogène (i.e. \(G(0)=D\)). Les auteurs décrivent alors toutes les décompositions possibles et montrent que \(E\) peut s’écrire \((\sum \oplus F_ p)_{c_ 0}\) où \(F_ p\) est isométrique soit à \(L(H_ 1,H_ 2)\) avec \(H_ 1\) et \(H_ 2\) espaces de Hilbert séparables, \(H_ 1\) ou \(H_ 2\) de dimension finie, soit à l’un des espaces symétriques irréductibles de dimension finie classifiés par E. Cartan. Les outils essentiels sont ceux des algèbres de Lie appliqués au cas où E est un espace irréductible de dimension finie.
Dans une deuxième partie, ils étudient le cas dim \(E_ n=1\) (espace à base) et donnent une forme normale pour les domaines de Reinhardt bornés à savoir: Après modifications de la norme sur \(E\) et regroupement de certains \(E_ n\), \(E=(\sum \oplus H_ p)_{c_ 0}\oplus F\) où les \(H_ p\) sont des espaces de Hilbert, \(F\) est un espace de Banach à base \((e_ i)_{i\in I}\) et \(x=(\sum x_ p)+(\sum y_ ie_ i)\in D\) si et seulement si \(\| x_ p\| <1\) et \(\sum_{i}[\prod_{p}(1-\| x_ p\|^ 2)^{-r_{p,i}}y_ ie_ i]\in D'\) où \(D'\) est un domaine de Reinhardt borné de \(F\) et les \(r_{p,j}\) sont des réels positifs tels que \(\sup_{i} [\sum_{p}r_{p,i}]<+\infty.\) L’orbite \(G(0)\) est alors la trace de \(D\) sur \((\sum \oplus H_ p)_{c_ 0}\).
Enfin les auteurs explicitent le cas où \(D\) est la boule unité d’un espace de Tsirelsohn de paramètre \(\theta\) ; l’espace engendré par \(G(0)\) est alors de dimension \([1/\theta]\).
Dans un dernier paragraphe on trouve des conditions nécessaires ou (et) sufficientes pour la convexitié de ces domaines sous forme normale.
Les résultats exposés généralisent ceux obtenus par J.-P. Vigué [Ann. Inst. Fourier 34, No. 2, 67–87 (1984; Zbl 0525.32027)].

MSC:

32A07 Special domains in \({\mathbb C}^n\) (Reinhardt, Hartogs, circular, tube) (MSC2010)
32M15 Hermitian symmetric spaces, bounded symmetric domains, Jordan algebras (complex-analytic aspects)
32K05 Banach analytic manifolds and spaces
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Full Text: Numdam EuDML

References:

[1] R. Alencar , R.M. Aron and S.O. Dineen : A reflexive space of holomorphic functions in infinitely many variables . Proc. A.M.S. 96 (1984) 407-411. · Zbl 0536.46015 · doi:10.2307/2044483
[2] T.J. Barton : Bounded Reinhardt domains in complex Banach spaces Dissertation , Kent State University (1984).
[3] R. Braun , W. Kaup and H. Upmeier : On the automorphisms of circular and Reinhardt domains in complex Banach spaces . Manuscripta Math. 25 (1978) 97-133. · Zbl 0398.32001 · doi:10.1007/BF01168604
[4] E. Cartan : Sur les domaines bornés homogènes de l’espace de n variàbles complexes . Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 11 (1935) 116-162. · Zbl 0011.12302 · doi:10.1007/BF02940719
[5] H. Cartan : Les fonctions de deux variàbles complexes et le problème de la représentation analytique . J. Math. Pures Appl., 9e série, 10 (1931) 1-144. · Zbl 0001.28501
[6] P.G. Casazza : Tsirelsohn’s space . Proc. of the Research Workshop on Banach Space Theory, University of Iowa, Bor-Luh Lin, ed., pp. 9-22 (1981). · Zbl 0505.46014
[7] P.G. Casazza : Finite dimensional decompositions in Banach spaces . Preprint. · Zbl 0625.46020
[8] P.G. Casazza , W.B. Johnson and L. Tzafriri : On Tsirelsohn’s space . Preprint.
[9] S. Dineen : Complex analysis in locally convex spaces . North Holland Math. Studies, 57 (1981). · Zbl 0484.46044
[10] D. Drucker : Exceptional Lie algebras and the structure of hermitian symmetric spaces . Memoirs 208, Amer. Math. Soc., Providence (1978). · Zbl 0395.17009
[11] T. Figiel and W.J. Johnson : A uniformly convex Banach space which contains no lp . Comp. Math. 29 (1974) 179-190. · Zbl 0301.46013
[12] T. Franzoni : and E. Vesentini : Holomorphic maps and invariant distances . North Holland Math. Studies, 40 (1980). · Zbl 0447.46040
[13] L. Harris : Bounded symmetric homogeneous domains in infinite dimensional spaces . In Lecture Notes 364. Springer-Verlag, New York-Heidelberg -Berlin, 1974 (13-40). · Zbl 0293.46049
[14] L. Harris : A generalization of C*-algebras . Proc. Lond. Math. Soc. (3) 42 (1981) 331-361. · Zbl 0476.46054 · doi:10.1112/plms/s3-42.2.331
[15] S. Helgason : Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces . Pure and Applied Math. 80. Academic Press, New York- San Francisco-London (1978). · Zbl 0451.53038
[16] J.E. Humphreys : Introduction to Lie algebras and representation theory. GTM 9 , Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin (1972). · Zbl 0254.17004
[17] W.B. Johnson : A reflexive Banach space which is not sufficiently euclidean . Studia Math. 55 (1976) 201-205. · Zbl 0362.46015
[18] W. Kaup : Algebraic characterization of symmetric complex Banach manifolds . Math. Ann. 228 (1977) 39-64. · Zbl 0335.58005 · doi:10.1007/BF01360772
[19] W. Kaup : Contractive projections on Jordan C*-algebras and generalizations . Math. Scand. 54 (1984) 95-100. · Zbl 0578.46066 · doi:10.7146/math.scand.a-12043
[20] W. Kaup : A Riemann mapping theorem for bounded symmetric domains in complex Banach spaces . Math. Z. 183 (1983) 503-529. · Zbl 0519.32024 · doi:10.1007/BF01173928
[21] W. Kaup and H. Upmeier : Banach spaces with biholomorphically equivalent unit balls are isomorphic . Proc. A.M.S. 58 (1978) 129-133. · Zbl 0337.32012 · doi:10.2307/2041372
[22] J. Lindenstrauss and L. Tzafriri : Classical Banach spaces I. Ergebnisse 92 , Springer-Verlag, New York- Heidelberg-Berlin (1977). · Zbl 0362.46013
[23] O. Loos : Symmetric spaces II, compact spaces and classsification . Benjamin, New York (1969). · Zbl 0175.48601
[24] O. Loos : Bounded symmetric domains and Jordan pairs. Lecture notes , University of California at Irvine (1977).
[25] G.D. Mostow : Lectures on Lie groups and Lie algebras. Lecture notes , Yale University (1968).
[26] L.L. Stachó : A short proof that the biholomorphic automorphisms of the unit ball in certain Lp spaces are linear . Acta Sci. Math., 41 (1979) 381-383. · Zbl 0432.58006
[27] L.L. Stachó , A projection principle concerning biholomorphic automorphisms . Acta Sci. Math., 44 (1982) 99-124. · Zbl 0505.58008
[28] T. Sunada : Holomorphic equivalence problem for bounded Reinhardt domains . Math. Ann. 235 (1978) 111-128. · Zbl 0357.32001 · doi:10.1007/BF01405009
[29] P. Thullen : Die Invarianz des Mittelpunktes von Kreiskorpen . Math. Ann. 104 (1931) 244-259.
[30] B.S. Tsirelsohn : Not every Banach space contains lp or c0 . Func. Ann. Appl. 8 (1974) 138-141. Translated from Russian. · Zbl 0296.46018 · doi:10.1007/BF01078599
[31] J.P. Vigué : Le groupe des automorphismes analytiques d’un domaine borné d’un espace de Banach complexe. Application aux domaines bornés symétriques . Ann. Scien . Ec. Norm. Sup., 4e série, 9 (1976) 203-282. · Zbl 0316.32007
[32] J.P. Vigué : Les domaines bornés symétriques d’un espace de Banach complexe et les systémes triples de Jordan . Math. Ann., 229 (1977) 223-231. · Zbl 0344.32024 · doi:10.1007/BF01391467
[33] J.P. Vigué : Automorphismes analytiques des produit continus de domaines bornés . Ann. Scien. Ec. Norm. Sup., 4e série, 11 (1978) 229-246. · Zbl 0405.32007 · doi:10.24033/asens.1345
[34] J.P. Vigué : Sur la dècomposition d’un domaine borné symmétrique en produit continu de domaines bornés symétriques irréductibles . Ann. Scien. Ec. Norm. Sup., 4e série, 14 (1981) 453-463. · Zbl 0487.32020 · doi:10.24033/asens.1415
[35] J.P. Vigué : Automorphismes analytiques d’un domaine de Reinhardt borné d’un espace de Banach a base . Ann. de l’Inst. Fourier, 34, 2 (1984), 67-87. · Zbl 0525.32027 · doi:10.5802/aif.965
[36] J.P. Vigué and J.M. Isidro , Sur la topologie du group des automorphismes analytiques d’un domaine circlé borné . Bull. Soc. Mat. Fr., 106 (1982) 417-426. · Zbl 0546.32012
[37] J.A. Wolf : Fine structure of Hermitian symmetric spaces . In Symmetric spaces . Marcel Dekker, New York (1972) 271-357. · Zbl 0257.32014
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