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Bilinear representation formulas for polynomials. (English) Zbl 0657.35039

Bekannt ist nach A. G. Ramm [Proc. Am. Math. Soc. 98, 253-256 (1986; Zbl 0602.35015)], daß für ein beschränktes Gebiet \(D\subset {\mathbb{R}}^ 3\) der Raum \(L^ 2(D)\) der auf D quadratintegrablen Funktionen die Menge \(\{\) \(\sum_{endlich}u_ i.v_ i:\) \(u_ i,v_ i\) Polynomlösungen von \(\Delta v=0\}\) dicht enthält.
In vorliegender Arbeit wird nun gezeigt, daß sich unter gewissen Voraussetzungen für zwei gegebene Polynome \(P,Q\in {\mathbb{C}}[x_ 1,...,x_ n]\) jedes Polynom \(R\in {\mathbb{C}}[x_ 1,...,x_ n]\) über \({\mathbb{R}}^ n\) als \(\sum_{endlich}u_ i.v_ i\) mit \(u_ i,v_ i\in {\mathbb{C}}[x_ 1,...,x_ n]\) und \(P(D)(u_ i)=Q(D)(v_ i)=0\) schreiben läßt.
Zum Beispiel ist im \({\mathbb{R}}^ n\) jedes Polynom R als \(R=\sum_{endlich}u_ i.v_ i\) mit Polynomen \(u_ i,v_ i\) darstellbar, die der Laplace-Gleichung genügen.
Reviewer: P.Pflug

MSC:

35J05 Laplace operator, Helmholtz equation (reduced wave equation), Poisson equation
26C05 Real polynomials: analytic properties, etc.

Citations:

Zbl 0602.35015
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