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Interaction de trois ondes dans les équations semi-linéaires strictement hyperboliques d’ordre 2. (Interaction of three waves in semilinear strictly hyperbolic second order equations). (French) Zbl 0651.35049

Soit u une solution réelle \(H_{loc}^{3/2+\rho}(\Omega)\) \((\rho >1\), \(\Omega\) est un ouvert de \(R^ 3)\) de l’équation (E) \(P_ 2u=f(x,u,\partial^{\alpha}u)_{| \alpha | =1}\) sur \(\Omega\), où \(P_ 2\) est un opérateur strictement hyperbolique par rapport à t, et f une fonction \(C^{\infty}\) de ses arguments. Dans ce travail, où il est question de l’interaction de trois ondes dans \(\Omega\), \(\Sigma\) désigne une famille \((\Sigma_ i)_{1\leq i\leq 3}\) de trois surfaces de \(\Omega\) telle que: \(\cap^{3}_{i=1}\Sigma_ i=\{0\}\); \(\Sigma_ i\) et \(\Sigma_ j\) se coupent transversalement pour \(i\neq j\). L’auteur définit la régularité conormale: soit \({\tilde \Sigma}\) la réunion d’hypersurfaces lisses se coupant deux à deux transversalement et pas trois à trois, \(H^ s_{loc}({\tilde \Sigma},k)\) est l’ensemble des u dans \(H^ s_{loc}\) tels que, pour toute famille \((Z_ i)_{1\leq i\leq \ell}\) (où \(l\leq k)\) de champs tangens à \({\tilde \Sigma}\), \(Z_ 1...Z_{\ell}u\in H^ s_{loc}\). - Le but de ce travail est le théorème suivant: Si u est solution réelle de \(H_{loc}^{3/2+\rho}(\Omega)\) (où \(\rho >2)\) de (E), et si \(u\in H_{loc}^{3/2+\rho}(\Sigma,k)\) dans \(\Omega_-=\Omega \cap (t<0)\), alors, pour tout \(\rho '<\rho\), \(u\in H^{2+\rho '-1/2}(Z,k)\) localement près de O, où pour l’explication de ce dernier ensemble (de J. M. Bony) nous renvoions au travail en question.
Reviewer: S.Cinquini

MSC:

35L67 Shocks and singularities for hyperbolic equations
35L70 Second-order nonlinear hyperbolic equations
35B65 Smoothness and regularity of solutions to PDEs
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