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Conditions nécessaires de monogénéité. Applications aux extensions cycliques de degré premier \(\ell \geq 5\) d’un corps quadratique imaginaire. (Necessary conditions of monogeneity. Applications to cyclic extensions of prime degree \(\ell \geq 5\) of a imaginary quadratic field). (French) Zbl 0647.12002

The author continues his study on the necessary conditions of cyclicity (monogénéité) of \({\mathbb{Z}}_ K\) over \({\mathbb{Z}}_ k\) where K is a finite extension of the number field k and \({\mathbb{Z}}_ K\) (respectively \({\mathbb{Z}}_ k)\) denotes the ring of integers of K (k). The main theorem is the following and we quote from the author’s summary:
Theorem 1. Soient k un corps quadratique imaginaire et K/k une extension cyclique de degre premier \(\ell \geq 5\). On note w le nombre de racine de l’unité contenues dans k. Pour que \({\mathbb{Z}}_ k\) monogène il faut:
(a) si \(w=2\), soit que K/k soit non ramifiee soit que \(p=2\ell +1\) soit premier et seuls des ideaux premiers au-dessus de p soient ramifiés dans K/k;
(b) si \(w=2\) et \({\mathbb{Z}}_ k\) Euclidien, il faut que \(p=2\ell +1\) soit premier et que K soit, ou le composé de k et \({\mathbb{Q}}_+^{(p)}\), ou le corps de rayon pour l’un des idéaux au-dessus de p dans k si ce dernier ideál est décomposé dans k/\({\mathbb{Q}};\)
(c) \(w=4\), soit que K soit corps de rayon pour l’un des ideaux \((2+i)^ 2, (2-i)^ 2\), soit que \(p=2\ell +1\) soit premier et K le composé de \({\mathbb{Q}}(i)\) et \({\mathbb{Q}}_+^{(p)}\), soit que \(p=4\ell +1\) soit premier et K le corps de rayon pour l’un des idéaux premiers au-dessus de p dans \({\mathbb{Q}}(i);\)
(d) si \(w=6\), soit que K soit corps de rayon pour l’un des ideaux \((2- j)^ 2, (2-j^ 2)^ 2\), soit que \(p=2\ell +1\) soit premier et K le composé de \({\mathbb{Q}}(j)\) et \({\mathbb{Q}}_+^{(p)}\), soit que \(p=6\ell +1\) soit premier et K le corps de rayon pour l’un des idéaux premier au- dessus de p dans \({\mathbb{Q}}(j)\), soit que \(\ell =7\) un idéal au-dessus de 7 et des idéaux au-dessus de 43 ramifiés dans K/\({\mathbb{Q}}\).
Reviewer: N.Sankaran

MSC:

11R04 Algebraic numbers; rings of algebraic integers
11R11 Quadratic extensions
11R33 Integral representations related to algebraic numbers; Galois module structure of rings of integers
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