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Recent results connected with Hilbert’s irreducibility theorem. (Résultats récents liés au théorème d’irreductibilité de Hilbert.) (French) Zbl 0632.12004

Théorie des nombres, Sémin. Paris 1985/86, Prog. Math. 71, 19-37 (1987).
[For the entire collection see Zbl 0621.00007.]
Im vorliegenden Übersichtsartikel werden einige der wichtigsten Resultate diskutiert, die nach 1980 im Umfeld des Hilbertschen Irreduzibilitätssatzes (HIS) entstanden sind und zu denen der Autor [Acta Arith. 47, 371–402 (1986; Zbl 0565.12012)] selbst ebenso maßgeblich beigetragen hat wie etwa E. Bombieri [Am. J. Math. 105, 295–308 (1983; Zbl 0516.12009)] und V. G. Sprindzhuk [J. Reine Angew. Math. 340, 26–52 (1983; Zbl 0497.12001)]. Auch werden dabei verwendete Beweismethoden kurz, aber prägnant skizziert; soweit diese analytisch sind, entstammen sie der Transzendenztheorie (Siegelsche E- bzw. G-Funktionen, Gel’fonds Methode, Padé-Approximationen zweiter Art).
Zwei Einzelheiten seien noch besonders hervorgehoben:
1) Der Autor gibt einen neuen, vollständigen Beweis für den Satz von M. Fried [Isr. J. Math. 51, 347–363 (1985; Zbl 0579.12002)], nach dem der HIS nicht nur für den rationalen, sondern jeden algebraischen Zahlkörper gilt.
2) Während sich aus dem HIS die bloße Existenz von Folgen \((x_ m)\in\mathbb Q^{\mathbb N}\) ergibt, so daß für jedes irreduzible \(P\in \mathbb Q(X)[Y]\) das Polynom \(P(x_ m,Y)\) in \(\mathbb Q[Y]\) irreduzibel bleibt, sobald \(m\) größer als eine nur von \(P\) abhängige Schranke ist, konnte eine solche Folge \((x_ m)\) erstmals effektiv von V. G. Sprindzhuk [Tr. Mat. Inst. Steklova 158, 180–196 (1981; Zbl 0481.10013)] angegeben werden. Basierend auf seinen früheren Ergebnissen [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 302, 87–90 (1986; Zbl 0589.12001)] konstruiert der Autor hier eine weitere derartige Folge.

MSC:

11R09 Polynomials (irreducibility, etc.)
12E25 Hilbertian fields; Hilbert’s irreducibility theorem