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Volterra integro-differential equations of parabolic type of higher order in t. (English) Zbl 0628.45008

Für \(x=(x_ 1,...,x_ n)\) im beschränkten Gebiet \(\Omega \subset R^ n\), \(0<t\leq T\), setzt man \(D_ x=(\partial /\partial x_ 1,...,\partial /\partial x_ n)\), \(D_ t=\partial /\partial t\) und untersucht die Anfangswertaufgabe \[ (D_ t^{\ell}+\sum^{\ell - 1}_{k=0}A_{\ell -k}(x,t,D_ x)D^ k_ t)u(x,t)=\int^{t}_{0}B(x,t,s,D_ x)u(x,s)ds+f(x,t),\quad (x,t)\in \Omega \times (0,T]; \] \(B_ j(x,D_ x)u(x,t)=0\), j-1,...,m, (x,t)\(\in \partial \Omega \times (0,t)\); \((D^ j_ tu)(x,0)=u_ j\), \(j=0,...,\ell -1\), \(x\in \Omega\). Dabei bezeichnen \(A_ j(x,t,D_ x)\), \(B_ j(x,D_ x)\), \(B(x,t,s,D_ x)\) lineare Differentialoperatoren. Die Ordnungen von B, \(A_{\ell}\), und von \(A_ j\) (j-1,...,\(\ell -1)\), werden vorausgesetzt als \(=2m\), bzw. \(\leq 2mj/\ell\) für irgendein \(m\geq 1\), \(f+r\) welches 2m/\(\ell\) eine gerade ganze Zahl ist. Außerdem nimmt man an, daß der Operator \(D_ t^{\ell}+\sum^{\ell - 1}_{k=0}A_{\ell -k}\) parabolisch ist im Sinne von Petrowsky. Unter passenden bedingungen wird das Problem im Rahmen der Theorie der Sobolevschen Räume studiert und durch Bildung einer sogenannten Grundlösung behandelt.
Reviewer: G.Cimmino

MSC:

45K05 Integro-partial differential equations
45G10 Other nonlinear integral equations
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