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On an analytic continuation of \(\zeta\) (s). (English) Zbl 0625.10030

Für \(s=+it\), \(t>2\), \(\delta >0\), \(x>(+\delta)t\) zeigen die Verff. \[ \zeta (s)=\sum_{n\leq x}n^{-s}+x^{1-s}/(s-1)+O(t^{-\sigma})\quad, \] wobei die O-Konstante nur von \(\delta\) abhängt. Nach einem bekannten Approximationssatz von Hardy und Littlewood [vgl. E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann zeta-function (1951; Zbl 0042.07901; second ed. 1986; Zbl 0601.10026), Theorem 4.11] gilt dies sogar für \(x\geq (1/2\pi +\delta)t\). Jedoch beruht der vorliegende Beweis auf der Iteration einer sehr einfachen Summenformel.
Reviewer: W.Haneke

MSC:

11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
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