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A sequence associated with the zeros of the Riemann zeta function. (English) Zbl 0623.10027

Der Verf. beweist über \(\delta_ n=\sum_{\rho}\rho^{-n}\), wo über alle komplexen Nullstellen \(\rho\) von \(\zeta\) (s) summiert wird, die folgenden Aussagen. Für \(n\in\mathbb N\) läßt sich \(\delta_ n\) eindeutig in der Form \[ \delta_ n=2\sum^{\infty}_{k=1}r_ k^{-n} \sum^{m_ k}_{j=1}a_{k,j} \cos b_{k,j} n \] mit von \(n\) unabhängigen Größen \(r_ k>0\), \(m_ k,a_{k,j}\in\mathbb N\), \(b_{k,j}\in (0,\pi /2)\) darstellen, die den Bedingungen \(r_{k+1}>r_ k\), \(b_{k,i}\neq b_{k,j}\) für \(1\leq i\neq j\leq m_ k\), \(r_ k \cos b_{k,j}<1\) für \(1\leq j\leq m_ k\), \(k\in\mathbb N\) genügen.
Die Riemannsche Vermutung gilt genau dann, wenn für alle \(k\in\mathbb N\) \(m_ k=1\) und \(r_ k \cos b_{k,1}=1/2\) ist. Wenn die Riemannsche Vermutung wahr ist und alle Nullstellen von \(\zeta(s)\) einfach sind, lassen sich \(r_ k\), \(a_{k,1}\), \(b_{k,1}\) explizit darstellen. Für alle \(n\in\mathbb N\) gilt \(\delta_ n=O((1,57721566)^ n)\).

MSC:

11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
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