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Evolution d’une interface par capillarité et diffusion de volume. Estimations à priori et résultats d’existence. (Evolution of an interface by capillarity and volume diffusion. A priori estimates and existence results). (French) Zbl 0613.35010

Journ. Équ. Dériv. Partielles, St.-Jean-De-Monts 1984, Conf. No. 9, 13 p. (1984).
Nous considérons le problème d’évolution d’interface suivant: à l’instant t, \(\Omega_ t\) est un domaine du plan dont la frontière \(\Gamma_ t\) se déplace à une vitesse (mesurée suivant la normale extérieure \(\nu)\) égale à -\(\partial K/\partial \nu\), dérivée normale d’une fonction harmonique dans \(\Omega_ t\) dont la valeur au bord est égale à la courbure K de \(\Gamma_ t\). Ceci est un modèle du phénomène de corrosion par capillarité et diffusion de volume.
Nous nous proposons, d’une part d’établir des estimations a priori sur la solution dans le cas où \(\Gamma_ t\) est un graphe de fonction (estimations impliquant notamment que pour une condition initiale convenable, le maximum m(t) de la pente de \(\Gamma_ t\) reste borné au cours du temps); d’autre part de monter l’existence d’une solution (globale ou locale en temps) lorsque la donnée initiale est une courbe corde-arc vérifiant une certaine condition de régularité.
La technique de démonstration consiste à faire apparaître la solution comme point fixe d’un opérateur contractant à partir d’une formulation intrinsèque de l’équation d’évolution. Pour ce faire, on ramène l’étude de l’opérateur \(\partial /\partial \nu\) à celle de noyaux associés à l’interface \(\Gamma_ t\).

MSC:

35B45 A priori estimates in context of PDEs
35K60 Nonlinear initial, boundary and initial-boundary value problems for linear parabolic equations
35A05 General existence and uniqueness theorems (PDE) (MSC2000)
35J65 Nonlinear boundary value problems for linear elliptic equations
Full Text: Numdam EuDML