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Fermeture de l’espace des divergences et séparation de l’espace des feuilles. (English) Zbl 0609.57015

Soit X une variété différentielle munie d’un feuilletage \({\mathcal F}\) simple (l’espace des feuilles est une variété différentielle pour laquelle la surjection canonique est une submersion). Soient \({\mathcal D}(X)\) l’espace des fonctions \({\mathcal C}^{\infty}\) et à support compact dans X, et \({\mathfrak D}(X)\) l’espace des formes \({\mathcal C}^{\infty}\) impaires de degré maximum et à support compact dans X. Soit \({\mathcal L}\) une algèbre de Lie de champs de vecteurs sur X, définissant le feuilletage donné sur X. Soient Div(\({\mathcal L},X)\) le sous-espace de \({\mathcal D}(X)\) engendré par les éléments de la forme Lf, avec \(L\in {\mathcal L}\) et \(f\in {\mathcal D}(X)\); et \({\mathfrak Div}({\mathcal L},X)\) le sous espace de \({\mathfrak D}(X)\) engendré par les éléments de la forme \(\theta (L).w,\) où \(w\in {\mathfrak D}(X)\), \(L\in {\mathcal L}\), et où \(\theta (L).w\) est la dérivée de Lie de w par rapport à L.
Alors, on démontre que: Théorème: Soit \({\mathcal F}\) un feuilletage simple sur X. Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) l’espace topologique \({\mathcal F}\) n’est pas séparé; (ii) quelle que soit l’algèbre de Lie \({\mathcal L}\) de champs de vecteurs sur X, définissant \({\mathcal F}\), l’espace \({\mathfrak Div}({\mathcal L},X)\) des divergences tordues n’est pas fermé dans \({\mathfrak D}(X)\); (iii) il existe une algèbre de Lie \({\mathcal L}\) de champs de vecteurs sur X, définissant \({\mathcal F}\), telle que \({\mathfrak Div}({\mathcal L},X)\) ne soit pas fermé dans \({\mathfrak D}(X)\). Corollaire: Soit \({\mathcal F}\) un feuilletage simple sur X. Soit \({\mathcal L}\) une algèbre de Lie de champs de vecteurs sur X, définissant \({\mathcal F}\), et admettant une forme volume tordue \({\mathcal L}\)-invariante. Alors Div(\({\mathcal L},X)\) est fermé dans \({\mathcal D}(X)\) si et seulement si \({\mathcal F}\) est séparé.

MSC:

57R30 Foliations in differential topology; geometric theory
58A99 General theory of differentiable manifolds
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Full Text: DOI Numdam EuDML

References:

[1] Barra, R.). - Distributions invariantesThèse de Doctorat d’Etat. n°401. Université de Poitiers.
[2] Felix, R.). - Solvability of differential equations with linear coefficients of nilpotent type (à paraître dans Proc. Amer. Math. Soc.). · Zbl 0541.35010
[3] Felix, R.). - Solvability of differential equations with linear coefficients of real type (à paraître). · Zbl 0589.58039
[4] Haefliger, A.). - Variétés feuilletée, Ann. Scuola Norm. Pisa, t. 16, 1962, p. 367-379. · Zbl 0122.40702
[5] Malgrange, B.). - Ideals of differentiable functions. - Oxford University Press, 1966. · Zbl 0177.17902
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