×

Sur un théorème de Day, un théorème de Mazur-Orlicz et une généralisation de quelques théorèmes de Silverman. (On a theorem of Day, a theorem of Masur-Orliz, and a generalization of some theorems of Silverman). (French) Zbl 0595.43002

Soient G un semigroupe et \(l^{\infty}(G)\) l’espace des fonctions réelles bornées sur G. Si \(f\in l^{\infty}(G)\) et \(a\in G\), on pose \(R_ af(x)=f(xa)\), pour \(x\in G\). On appelle moyenne invariante à droite sur \(l^{\infty}(G)\) toute forme linéaire m sur \(l^{\infty}(G)\) telle que \(m(1)=1\) et \(m(R_ af)=m(f)\) quels que soint \(f\in l^{\infty}(G)\), \(a\in G\). Un semigroupe admettant une moyenne invariante à droite est dit moyennable à droite.
Un résultat classique de Day affirme que tout semigroupe discret abélien est moyennable (à droite). Il peut s’établir grâce au théorème du point fixe de Markoff-Kakutani. Il se déduit aussi du théorème de Mazur-Orlicz (généralisant le théorème de Hahn- Banach) dont voici l’énoncé: Soient E un espace vectoriel réel, p une application sous-additive, positvement homogène de E dans \({\mathbb{R}}\), T un ensemble arbitraire, \(u: T\to E\), \(a: T\to {\mathbb{R}}\). Pour qu’il existe une forme linéaire f sur E vérifiant (i) \(f\leq p\), \((ii)\quad a\leq f\quad \circ \quad u,\) il faut et il suffit que \(\sum^{n}_{i=1}\lambda_ i\quad a(t_ i)\leq p(\sum^{n}_{i=1}\lambda_ i\quad u(t_ i))\) quels que soient la partie finie \(\{t_ 1,...,t_ n\}\) de T et l’ensemble fini \(\{\lambda_ 1,...,\lambda_ n\}\) dans \({\mathbb{R}}_+.\)
L’A. montre que le théorème de Mazur-Orlicz peut se déduire de la propriété de Day appliquée au semigroupe abélien discret E. Il établit aussi une version généralisée du théorème.
Reviewer: J.-P.Pier

MSC:

43A07 Means on groups, semigroups, etc.; amenable groups
46E30 Spaces of measurable functions (\(L^p\)-spaces, Orlicz spaces, Köthe function spaces, Lorentz spaces, rearrangement invariant spaces, ideal spaces, etc.)
22A20 Analysis on topological semigroups
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI EuDML