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Zur Parameterbestimmung in nichtlinearen Problemen. Eine Einführung in die Koeffizientenbestimmung mittels Optimalitätskriterien in stationären partiellen Differentialgleichungen und Systemen. (German) Zbl 0588.35083

Teubner-Texte zur Mathematik, Bd. 81. Leipzig: BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft. 128 S. M 13.50 (1985).
Der Text behandelt einige Aspekte der Identifikation verteilter Parameter in stationären partiellen Differentialgleichungen mittels Optimalitätskriterien. Dabei werden die Parameteridentifikationsprobleme als Minimumprobleme im Produkt zweier reflexiver Banach-Räume mit Nebenbedingungen aufgefaßt. Der eine Banach-Raum ist der Parameterraum, der andere der Raum der Lösungen der Differentialgleichung für fixierte Parameter. Die Nebenbedingungen sind in den Anwendungen Graphen impliziter Abbildungen parametrischer Relationen.
In Teil A (Kapitel 1-3) des Buches wird in sehr allgemeiner und abstrakter Form auf die Fragen nach der Existenz optimaler Parameter, der Eigenschaften der Lösungsmenge, und insbesondere der Abschätzung ihres Durchmessers eingegangen. In Abschnitt 2.3.1 werden hierzu konkrete Normschranken angegeben. Die Abschnitte 2.3.2 und 2.3.3 bringen eine Toleranzanalyse für optimale Parameter und eine Untersuchung ihrer Sensivität gegenüber freien Parametern. Kapitel 3 befaßt sich mit den Grundeigenschaften impliziter Abbildungen in nichtlinearen parametrischen Relationen.
Teil B (Kapitel 4-5) befaßt sich mit der Anwendung und Konkretisierung der in Teil A gewonnenen Resultate auf stationäre elliptische Probleme. Kapitel 4 bringt analytische Hilfsmittel, insbesondere aus der Theorie der Sobolev-Räume, ehe in Kapitel 5 elliptische Randwertaufgaben behandelt werden. Abschnitt 5.1.2 befaßt sich mit gradientenabhängigen und Abschnitt 5.1.3 mit ortsabhängigen Parametern; in Abschnitt 5.2 wird das System der stationären Gleichungen des Ladungsträgertransports in Halbleitern untersucht. Grundlage für die Anwendung der in Teil A entwickelten Theorie ist jeweils die Tatsache, daß nichtlineare elliptische Randwertaufgaben gleichmäßig monotone Operatoren auf geeigneten Sobolev-Räumen erzeugen, wenn die Koeffizientenfunktionen in spezieller Weise von der Lösung und ihren Ableitungen abhängen.
Der Text stellt einen Versuch dar, eine einheitliche funktionalanalytische Methodik zur Lösung einer Klasse inverser Probleme zu geben. Dies ist im Ganzen gut gelungen. Erfreulich sind u.a. die vielen expliziten Normschranken, die gewonnen wurden. Ferner sind die behandelten Anwendungsprobleme schwierig. Der insgesamt positive Gesamteindruck des Buches wird nur ein wenig dadurch getrübt, daß die sehr umfangreiche westliche Literatur zur Parameteridentifikation im Literaturverzeichnis keinerlei Niederschlag fand.
Reviewer: J.Sprekels

MSC:

35R30 Inverse problems for PDEs
35R25 Ill-posed problems for PDEs
49-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to calculus of variations and optimal control
46E35 Sobolev spaces and other spaces of “smooth” functions, embedding theorems, trace theorems
35B35 Stability in context of PDEs