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Modultheorie hyperelliptischer Mumfordkurven. (German) Zbl 0571.14016

Über einem nichtarchimedisch bewerteten Körper k ist eine hyperelliptische Kurve genau dann uniformisierbar (bzw. Mumfordkurve), wenn sich ihre Verzweigungspunkte in bestimmter Weise zu Paaren zusammenfassen lassen. Dies führt (in Charakteristik \(\neq 2)\) zu einer Beschreibung des (analytischen) Modulraums \({\mathcal M}^ h_ g\) der hyperelliptischen Mumfordkurven als Quotient eines offenen Steinschen Bereiches \(H_ g\) in \(k^{2g-1}\) nach einer Aktion der Untergruppe \(O_{g+1}\) von \(S_{2g+2}\) der ”paarerhaltenden” Permutationen. - In der vorliegenden Arbeit werden diese analytischen Bahnenräume \({\mathcal M}_ g^ h\) eingehend untersucht. Insbesondere wird für den Zwischenquotienten \(\bar H_ g=H_ g/({\mathbb{Z}}/2{\mathbb{Z}})^{g+1}\) eine explizite analytische Darstellung gegeben; außerdem wird gezeigt, daß \(\bar H_ g\) Quotient des Teichmüllerraumes ist, und so der Anschluß an die nichtarchimedische Teichmüllertheorie hergestellt. Das konkreteste Ergebnis erhält man für Geschlecht 2: es wird gezeigt, daß \({\mathcal M}_ 2\) Produkt einer affinen Geraden mit einer offenen Kreisscheibe und einer punktierten offenen Kreisscheibe ist. Die für diese Beschreibung benutzten Invarianten werden in Beziehung gesetzt zu den von J. Igusa [Ann. Math., II. Ser. 72, 612-649 (1960; Zbl 0122.390)] gefundenen ”arithmetischen” Invarianten für den algebraischen Modulraum \({\mathcal M}_ 2\) aller nichtsingulären Kurven vom Geschlecht 2.

MSC:

14H15 Families, moduli of curves (analytic)
14G20 Local ground fields in algebraic geometry
32G15 Moduli of Riemann surfaces, Teichmüller theory (complex-analytic aspects in several variables)
14L30 Group actions on varieties or schemes (quotients)
32E10 Stein spaces
32G13 Complex-analytic moduli problems
14H45 Special algebraic curves and curves of low genus

Citations:

Zbl 0122.390
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Full Text: DOI EuDML

References:

[1] Bosch, S.: Formelle Standardmodelle hyperelliptischer Kurven. Math. Ann.251, 19-42 (1980) · Zbl 0437.14014 · doi:10.1007/BF01420278
[2] Gerritzen, L., van der Put, M.: Schottky groups and Mumford curves. Lect. Notes Math. 817. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1980 · Zbl 0442.14009
[3] Geyer, W.-D.: Invarianten binärer Formen. In: Classification of algebraic varieties and compact complex manifolds. Lect. Notes Math. 412, pp. 36-69. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1974
[4] Herrlich, F.: Nichtarchimedische Teichmüllerräume. Habilitationsschrift, Bochum 1985 · Zbl 0625.32023
[5] Igusa, J.: Arithmetic variety of moduli for genus two. Ann. Math.72, 612-649 (1960) · Zbl 0122.39002 · doi:10.2307/1970233
[6] Laudal, O.A., Lønsted, K.: Deformations of curves. I. Moduli for hyperelliptic curves. In: Algebraic geometry. Proc. Tromsø 1977. Lect. Notes Math. 687, pp. 150-167. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1978
[7] Lønsted, K.: The structure of some finite quotients and moduli of curves. Commun. Algebra8, 1335-1350 (1980) · Zbl 0454.14007 · doi:10.1080/00927878008822521
[8] Lütkebohmert, W.: Ein globaler Starrheitssatz für Mumfordkurven. J. reine angew. Math.340, 118-139 (1983) · Zbl 0505.14023 · doi:10.1515/crll.1983.340.118
[9] Mumford, D., Fogarty, J.: Geometric invariant theory. 2nd ed. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1982 · Zbl 0504.14008
[10] Ullrich, H.: Zurp-adischen Uniformisierung. Dissertation, Bochum 1981 · Zbl 0525.14013
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