Loeb, Jean-Jacques Action d’une forme réelle d’un groupe de Lie complexe sur les fonctions plurisousharmoniques. (French) Zbl 0563.32013 Ann. Inst. Fourier 35, No. 4, 59-97 (1985). Soit \(G_{{\mathbb C}}\) un groupe de Lie complexe et \(G_{{\mathbb R}}\) une forme réelle fermée de \(G_{{\mathbb C}}\). Un couple \((G_{{\mathbb C}},G_{{\mathbb R}})\) est dit pseudo-convexe, s’il existe sur \(G_{{\mathbb C}}\) une fonction régulière, strictement p.s.h., invariante par l’action de \(G_{{\mathbb R}}\) et d’exhaustion sur \(G_{{\mathbb C}}/G_{{\mathbb R}}\). On dit que \(G_{{\mathbb R}}\) est à spectre imaginaire pur, si pour tout \(X\) de \(\text{Lie}(G_{{\mathbb R}})\), les valeurs propres de \(\text{ad}\;X\) sont imaginaires pures. Pour \(G_{{\mathbb C}}\) à radical simplement connexe, cette dernière propriété équivaut à la pseudo-convexité de \((G_{{\mathbb C}},G_{{\mathbb R}})\). Pour \((G_{{\mathbb C}},G_{{\mathbb R}})\) pseudo-convexe et sous une hypothèse de sous-groupe discret, il existe sur tout ouvert invariant \(\Omega\) une fonction invariante strictement p.s.h. et d’exhaustion sur \(\Omega /G_{{\mathbb R}}\). Sous les mêmes hypothèses, on a le théorème suivant: Soit \(\Omega\) un ouvert de Stein \(G_{{\mathbb R}}\)-invariant de \(X\times G_{{\mathbb C}}\) et à fibre connexe au-dessus de \(X\). Sa projection sur \(X\) est de Stein, lorsque \(X\) est de Stein. Au chapitre VI, on montre l’inexistence d’une métrique kählérienne invariante sur \(G_{{\mathbb C}}\) lorsque \(G_{{\mathbb R}}\) n’est pas à spectre imaginaire pur. Ce résultat implique l’inexistence d’une métrique kählérienne pour certaines variétés résolubles complexes non compactes. Reviewer: Jean-Jacques Loeb Cited in 9 ReviewsCited in 17 Documents MSC: 32M05 Complex Lie groups, group actions on complex spaces 32E10 Stein spaces 32U05 Plurisubharmonic functions and generalizations 22E10 General properties and structure of complex Lie groups 32F99 Geometric convexity in several complex variables Keywords:Stein space; pure imaginary spectrum; pseudoconvex complex Lie group; plurisubharmonic function; nonexistence of Kähler metric PDFBibTeX XMLCite \textit{J.-J. Loeb}, Ann. Inst. Fourier 35, No. 4, 59--97 (1985; Zbl 0563.32013) Full Text: DOI Numdam EuDML References: [1] [1] , Algèbres de Lie, Hermann, (Chap. I). · Zbl 0213.04103 [2] B. CHAFI, Principe du Minimum pour les fonctions plurisousharmoniques, Thèse de 3e cycle, Université de Lille 1, (juin 1983). [3] [3] , Éléments d’Analyse, Gauthier-Villars, (Tome 4). · Zbl 0485.58001 [4] [4] und , Levisches problem und Rungeschen satz für Teilgebiete Steinscher Mannigfaltigkeiten, Math. Ann., 140 (1960), 94-123. · Zbl 0095.28004 [5] [5] , , On non compact complex nil-manifolds, Math. Ann., 238 (1978), 39-49. · Zbl 0405.32009 [6] [6] , Differential Geometry and Symmetric spaces, Academic Press. · Zbl 0111.18101 [7] [7] , Growth of connected locally compact lie groups, Journ. of functional Analysis, 12 (1973), 113-127. · Zbl 0247.43001 [8] [8] , The partial Legendre transform for plurisubharmonic functions, Invent. Math., 49 (1978), 137-148. · Zbl 0378.32010 [9] [9] , , Sur certains fibrés holomorphes sur une variété de Stein, Bull. Soc. Math. Soc. France, 88 (1960), 137-155. · Zbl 0094.28104 [10] [6] , Lectures on Three-Manifold Topology, C.B.M.S., n° 43 (1980), 251 pages. · Zbl 0108.10401 [11] [11] , Discrete subgroups of Lie groups, Springer Verlag. · Zbl 0254.22005 [12] [12] , Representations of solvable Lie algebras, Michigan Math., 16 (1969), 227-233. · Zbl 0204.36002 [13] [13] , Harmonic analysis on semi-simple Lie groups, Springer Verlag, (Tome 1). · Zbl 0265.22020 This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.