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Microlocal analysis of partial differential operators with irregular singularities. (English) Zbl 0556.35017

L’auteur généralise un résultat de Aoki et Kashiwara (en dimension 1) sur la structure microlocale d’une famille d’opérateurs différentiels sur \({\mathbb{R}}_{x_ 0}\times {\mathbb{R}}^ n_ x\) à singularités irrégulières le long de \(\{x_ 0=0\}\). Plus précisement si \(P=\sum_{| \alpha | \leq m}a_{\alpha}(x)x_ 0^{k(| \alpha |)}\partial_ x^{\alpha}\) l’indice d’irrégularité de P est défini par \(i=\max (\max_{0\leq j\leq m- 1}[(k(m)-k(j))/(m-j)],\quad 1)\) et les exposants caractéristiques de P sont les racines de l’équation \(\lambda^{k(m)}+\sum a_{j,0,...,0}(0)\lambda^{k(j)}=0\) où on somme sur les j qui vérifient \(i=(k(m)-k(j))/(m-j).\) L’auteur démontre que si \(i>1\) et si les exposants caractéristiques sont distincts, alors P est microlocalement équivalent à \(x_ 0^{k(m)}\) au point (0;\(\sqrt{- 1},0,...,0)\) de \(T^*({\mathbb{R}}_{x_ 0}\times {\mathbb{R}}^ n_ x)\).
Reviewer: J.-C.Nosmas

MSC:

35G05 Linear higher-order PDEs
35A20 Analyticity in context of PDEs
47F05 General theory of partial differential operators
35S05 Pseudodifferential operators as generalizations of partial differential operators
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