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The integral homology of \(SL_ 2\) and \(PSL_ 2\) of Euclidean imaginary quadratic integers. (English) Zbl 0545.20031

Für die natürliche Zahl d bezeichne \({\mathfrak O}_{-d}\) den Ring der ganzen Elemente im imaginärquadratischen Zahlkörper \(k={\mathbb{Q}}(\sqrt{-d})\). Die Autoren berechnen die Homologie (mit Koeffizienten in \({\mathbb{Z}}\) und im Steinbergmodul) der Gruppe \(\Gamma =PSL_ 2({\mathfrak O}_{-d})\) für \(d=1,2,3,7,11\) (d.h. für den Fall, daß \({\mathfrak O}_{-d}\) euklidisch ist). Dazu wird der von E. Mendoza [Bonn. Math. Schr. 128 (1980; Zbl 0464.12005)] gegebene Komplex I(k), auf dem \(\Gamma\) zellulär operiert, verwendet. (I(k) ist ein 2- dimensionaler Deformationsextrakt des hyperbolischen 3-dimensionalen Raumes H und hat gegenüber diesem den Vorzug, daß dim I(k)\(=vcd \Gamma\) und \(\Gamma \backslash I(k)\) kompakt ist.) Die Homologie von \(\Gamma\) wird dann durch sorgfältiges Analysieren der Spektralreihe der Aktion von \(\Gamma\) auf I(k) aus der Homologie der Stabilisatoren der Zellen gewonnen.
Reviewer: R.Bieri

MSC:

20G10 Cohomology theory for linear algebraic groups
20H25 Other matrix groups over rings
11R11 Quadratic extensions
57M20 Two-dimensional complexes (manifolds) (MSC2010)
11E57 Classical groups
11H06 Lattices and convex bodies (number-theoretic aspects)
20J05 Homological methods in group theory

Citations:

Zbl 0464.12005
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Full Text: DOI EuDML