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Un exemple de groupe de Galois d’une extension transcendante. (French) Zbl 0534.14011

Es sei \(K_ 1\) ein elliptischer Funktionenkörper über dem komplexen Zahlkörper \({\mathbb{C}}\). Für \(n\in {\mathbb{N}}\) sei \(K_ n\) der n- Teilungskörper über \(K_ 1\). Es werde \(K=UK_ n\) gesetzt. K kann beschrieben werden als die maximale algebraische und unverzweigte Erweiterung von \(K_ 1\). Die Galoisgruppe von \(K| K_ 1\) ist bekannt, nämlich die freie profinit-abelsche Gruppe vom Rang 2. In der vorliegenden Arbeit wird eine Beschreibung der Automorphismengruppe von \(K| {\mathbb{C}}\) gegeben. Es sei \(L_ 1\) das zu \(K_ 1\) gehörige Periodengitter in \({\mathbb{C}}\). Für \(n\in {\mathbb{N}}\) werde \(L_ n=nL_ 1\) gesetzt, und es sei G der inverse Limes \(G=\lim_{\leftarrow}{\mathbb{C}}/L_ n.\) Konstruktionsgemäß ist G eine kompakte abelsche Gruppe. Die multiplikative Gruppe \({\mathbb{Q}}^{\times}\) wirkt in natürlicher Weise durch Multiplikation auf G; wir betrachten das semidirekte Produkt \(G.{\mathbb{Q}}^{\times}\), wobei \({\mathbb{Q}}^{\times}\) mit der diskreten Topologie versehen ist.
Satz: Wenn \(K_ 1\) keine komplexe Multiplikation besitzt, so ist \(G.{\mathbb{Q}}^{\times}\) als topologische Gruppe isomorph zur Automorphismengruppe von K über \({\mathbb{C}}\). - Bemerkung: Wenn \(K_ 1\) komplexe Multiplikation besitzt, so ist in dem Satz \({\mathbb{Q}}^{\times}\) zu ersetzen durch die multiplikative Gruppe des zugehörigen imaginär- quadratischen Zahlkörpers. Der Satz überträgt sich mutatis mutandis auf elliptische Funktionenkörper über beliebigem algebraisch- abgeschlossenen Grundkörper, unter Einschluß der Charakteristik \(p>0\).
Reviewer: P.Roquette

MSC:

14H05 Algebraic functions and function fields in algebraic geometry
11R58 Arithmetic theory of algebraic function fields
12F10 Separable extensions, Galois theory
12F20 Transcendental field extensions
11R32 Galois theory
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