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Note on the representation of transcendents by arcs of curves. (Mémoire sur la représentation des transcendantes par des arcs de courbes.) (French) JFM 05.0352.01

Das Problem, mit dem der Verfasser sich beschäftigt, ist, im weitesten Sinne aufgefasst, das folgende: Man soll die Gleichung einer Curve angeben, für welche die Rectification des Bogens auf ein gegebenes algebraisches Integral führt. Gestattet man die Hinzunahme einer beliebigen algebraischen Function der Integrationsvariabeln zu dem Integral, so modificirt sich das Problem und wird leicht lösbar, wie denn Herrmann, J. Bernoulli, Legendre verschiedene Lösungen dieser Frage angegeben haben. Handelt es sich jedoch um die geometrische Repräsentation des Integrals allein, so ist zunächst zu bemerken, dass man bis vor einiger Zeit, ehe die schöne Arbeit von J. A. Serret erschienen war, nicht einmal eine Curve gekannt hat, deren Bogen etwa durch einen Logarithmus, oder ein elliptisches Integral \(1^{\text{ter}}\) Gattung mit anderem Modul als \(\sqrt{\frac{1}{2}}\) darstellbar war. Durch jene Arbeit trat Serret zuerst der principiellen Lösung der Frage näher, indem er den eleganten Gedanken ausführte, dass man das Quadrat des gegebenen Bogenelementes: \[ ds^2=(f(z)dz)^2, \] wo \(f(z)\) eine algebraische Function von \(z\) ist, in das Product: \[ (dx+idy)(dx-idy), \] wo \(x\) und \(y\) rechtwinklige Coordinaten der gesuchten Curve sind, \(i=\sqrt {-1}\), zerlegen müsse: gelingt es dann, unter der Annahme, dass \(z\) von der Form \(e^{i\varphi}\) ist, auch die rechte Seite in zwei Factoren zu zerlegen, welche durch Vertauschung von \(i\) mit \(-i\) in einander übergehn, so setze man \(dx+idy\) gleich einem derselben, dann ist \(x\) und \(y\) bezw. reeller und imaginärer Theil des betreffenden Integrals, und die Coordinaten der gesuchten Curve sind auf diese Weise als Functionen eines Parameters dargestellt. Im Allgemeinen lässt nun jenes Problem der unbestimmten Analysis noch eine mehrfach unendliche Schaar von Lösungen zu, indess ist nicht einmal für den Fall eines elliptischen Integrals die allgemeine Form der Lösung gefunden, wenn auch Serret unendlich viele Curven der verlangten Art angeben kann. Wenn die gesuchte Curve ausserdem noch algebraisch sein soll, so muss dies zugleich mit dem Integral für \(x+iy\) der Fall sein; so erklärt es sich, dass Serret nur Lösungen des Problems für den Fall eines elliptischen Integrals mit rationalem Modul angeben kann.
Die vorliegende Abhandlung enthält im Wesentlichen eine übersichtliche Zusammenstellung der bekannten Resultate, die um einige vermehrt werden, ohne dass jedoch neue generelle Gesichtspunkte für ein weiteres Eindringen in das Problem herbeigebracht werden.
Der Verfasser nimmt folgendes Integral zum Ausgangspunkt seiner Betrachtungen: \[ s=\int (z-a)^p\left(\frac{1}{z}-a\right)^p\frac{dx}{z\sqrt {-1}}. \] Eine particuläre Lösung ist dann die folgende: \[ x+iy=\int z^m(z-a)^{2p}dz, \] wo \(m\) eine rationale Zahl ist.
Es wird eine Reihe von besonderen Formen für das letzte Integral angegeben, welche das Integral für \(s\) auf die Form eines Logarithmus, eines Arcussinus, eines elliptischen Integrals und verwandter Functionen reduciren. So werden z. B. 3 Gattungen von Curven aufgestellt, deren Bogen durch Parabel-Bogen messbar sind. Ein anderes Mittel, dessen sich der Verfasser bedient, um neue Curven zu erhalten, deren Bogen durch einfache Integralausdrücke darstellbar sind, besteht darin, dass die Gleichungen einiger bekannten Curven, wie Gerade, Kreis, Epicycloide etc., in Polarcoordinaten aufgestellt und dann der folgenden von Mac-Laurin angegebenen Transformation unterworfen werden: \[ r'=r^n;\quad \theta'=n\theta. \] Man erhält so z. B. elliptische Integrale der \(1^{\text{ten}}\) und \(3^{\text{ten}}\) Gattung. Insbesondere lässt sich der Bogen der aus der Epicycloide durch jene Transformation abgeleiteten Curve, wenn \(n=-1\) ist (Transformationen durch reciproke Radien vectoren), durch ein elliptisches Integral \(3^{\text{ter}}\) Gattung ausdrücken, dessen Modul \(a\) beliebig ist, und dessen Parameter \(c\) mit \(a\) durch die Beziehung verbunden ist: \[ c=\frac{2\sqrt {a}}{1+a}. \] Schliesslich zeigt der Verfasser durch Uebertragung eines Satzes von Bernoulli in die Sprache der Analysis, wie man solche Curven, deren Bogen durch ein und dieselbe Function darstellbar sind, combiniren muss, um neue Curven derselben Art zu erzeugen.

MSC:

53A04 Curves in Euclidean and related spaces
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Full Text: Numdam