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Mémoire sur l’emploi des imaginaires dans la géométrie de l’espace. (French) JFM 04.0416.01

Nouv. Ann. (2) XI. 14-21, 108-118, 241-254 (1872).
Die hier vorliegende Methode der geometrischen Darstellung einer complexen Mannigfaltigkeit besteht in der Abbildung derselben auf eine reelle Mannigfaltigkeit von doppelt soviel Dimensionen. Ein Paar von complex conjugirten Punkten \(a, a'\) im Raum wird dargestellt durch den reellen Kreis, in welchem sich die Kegel schneiden, die von jedem der Punkte durch den unendlichfernen Kugel-Kreis gelegt werden. Sein Mittelpunkt ist die reelle Mitte der Strecke \(aa'\). Um die beiden Punkte \(aa'\) zu unterscheiden, legt man diesem Kreise einen bestimmten Sinn bei. In dieser Darstellung ist als specieller Fall die vom Verfasser (Nouv. Ann. XXIX. p. 241) gegebene Abbildung der complexen Ebene enthalten.
Soll das Paar \(a, a'\) einer Raumcurve \(G\) angehören, deren Gleichungen in einem reell-definirten Coordinatensysteme demnach nur reelle Coefficienten enthalten dürfen, so müssen die darstellenden Kreise gewissen Bedingungen unterliegen. Denkt man sich durch \(G\) eine Kegelfläche gelegt, deren Erzeugende die Curve \(G\) in zwei Punkten \(a, a'\) schneiden, so liegen die zugehörigen Kreise auf einer Fläche. Betrachtet man z. B. eine Curve \(F\) von \(4^{\text{ter}}\) Ordnung, die auf einer Kugel \(S\) und einer Kegelfläche \(A\) von zweiter Ordnung liegt, so bilden die Kreise, welche den Schnittpunkten von \(F\) und den Erzeugenden desselben Systemes von \(A\) entsprechen, eines der Kreissysteme der anallagmatischen Fläche \(4^{\text{ter}}\) Ordnung, die aus \(S\) und \(A\) in bekannter Weise entsteht (siehe F. d. M. I. 300). Geht diese Fläche in eine von zweiter Ordnung über, was dann geschieht, wenn \(F\) ein Kegelschnitt \(C\) wird, so folgt der Satz: “Zieht man in der Ebene eines Kegelschnittes \(C\) mit jeder derselben entsprechenden Kreise auf einer Oberfläche \(2^{\text{ter}}\) Ordnung, die \(C\) zur Focallinie hat.” Diese letztere ist demnach, je nachdem \(C\) Ellipse oder Hyperbel, ein zweischaliges Hyperboloid oder ein Ellipsoid.
Zum Schlusse folgen Bemerkungen über die Transformation durch reciproke Radien und eine Reihe von Sätzen über die Normalen der anallagmatischen Fläche.

Full Text: EuDML