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Kontravariante Formen auf induzierten Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren. (German) Zbl 0372.17003

Sei \(\mathfrak g\) eine halbeinfache komplexe Lie Algebra, \(\mathfrak b\subset\mathfrak g\) eine Unteralgebra, \(\mathfrak h\subset\mathfrak b\) eine Cartan-Unteralgebra und \(\mathfrak p\supset\mathfrak b\) eine parabolische Unteralgebra. Ausgehend von einer endlichdimensionalen Darstellung von \(\mathfrak p\) erhält man durch Induzieren einen \(\mathfrak g\)-Modul \(M'(\lambda)\), welcher durch sein höchstes Gewicht \(\lambda\) bestimmt ist. (Diese Konstruktionen lassen sich auch über einem beliebigen Grundring \(A\) durchführen; Bezeichnung: \(M'(\lambda)_A.)\) \(M'(\lambda)\) besitzt eine endliche Kompositionsreihe; im Falle \(\mathfrak p = \mathfrak b\) sind die auftretenden Kompositionsfaktoren durch Bernstein-Gel’fand-Gel’fand bestimmt worden, doch ist im allgemeinen sehr wenig darüber bekannt.
Ein Resultat in diese Richtung ist der Satz 1 der obigen Arbeit. Auf \(M'(\lambda)_A\) gibt es eine symmetrische Bilinearform, die kontravariante Form, für die verschiedene Gewichtsräume orthogonal sind und deren Radikal im Falle eines Grundkörpers gerade der größte echte Untermodul ist. Wählen wir als Grundring \(A\) einen diskreten Bewertungsring mit Restklassenkörper \(k\), so gibt der Satz 1 einen Zusammenhang zwischen den \(p\)-adischen Bewertungen der Determinanten dieser Formen auf den einzelnen Gewichtsräumen und dem Dekompositionsverhalten von \(M'(\lambda)_k\). Insbesondere ist \(M'(\lambda)_k\) genau dann irreduzibel, wenn alle diese Determinanten Einheiten in \(A\) sind. (Dieser Satz hat auch interessante Anwendungen auf die Darstellungstheorie halbeinfacher algebraischer Gruppen in Charakteristik \(p>0.)\)
Im dritten Abschnitt werden nun diese Determinanten berechnet (Satz 2); für \(\mathfrak p = \mathfrak b\) wurde die angegebene Formel (bis auf einen konstanten Faktor) schon von Shapovalov bewiesen. Zusammen mit Satz 1 erhält man ein Irreduzibilitätskriterium für die \(M'(\lambda)\) (Satz 3), welches für reguläre dominante Gewichte (Korollar 4) und für den Typ \(A_n\) (Satz 4) noch verbessert wird. Eine Reihe von Beispielen und Bemerkungen illustrieren die Wirksamkeit der entwickelten Methoden.

MSC:

17B10 Representations of Lie algebras and Lie superalgebras, algebraic theory (weights)
17B20 Simple, semisimple, reductive (super)algebras
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